定理定義
在△ABC中，設∠A，∠B，∠C的對邊分别為a，b，c，則有
a=bcosC+ccosB
b=ccosA+acosC
c=acosB+bcosA
這三個式子叫做射影定理。
驗證推導
①CD²=AD·BD;
②AC²=AD·AB;
③BC²=BD·AB;
④AC·BC=AB·CD
證明：①∵CD²+AD²=AC²,CD²+BD²=BC²
∴2CD²+AD²+BD²=AC²+BC²
∴2CD²=AB²-AD²-BD²
∴2CD²=(AD+BD)²-AD²-BD²
∴2CD²=AD²+2AD·BD+BD²-AD²-BD²
∴2CD²=2AD·BD
∴CD²=AD·BD
②∵CD²=AD·BD(已證)
∴CD²+AD²=AD·BD+AD²
∴AC²=AD·(BD+AD)
∴AC²=AD·AB
③BC²=CD²+BD²
BC²=AD·BD+BD²
BC²=(AD+BD)·BD
BC²=AB·BD
∴BC²=AB·BD
④
定理推廣
歐幾裡得提出的面積射影定理projective theorem規定“平面圖形射影面積等于被射影圖形的面積乘以該圖形所在平面與射影面所夾角的餘弦。(即射影/原）。”
面積射影定理
(平面多邊形及其射影的面積分别是和,它們所在平面所成的二面角為)
證明思路
因為射影就是将原圖形的長度（三角形中稱高）縮放，所以寬度是不變的，又因為平面多邊形的面積比=邊長的乘積比。所以就是圖形的長度（三角形中稱高）的比。
那麼這個比值應該是平面所成角的餘弦值。在兩平面中作一直角三角形，并使斜邊和一直角邊垂直于棱（即原多邊形圖的平面和射影平面的交線），則三角形的斜邊和另一直角邊就是其多邊形的長度比，即為平面多邊形的面積比。将此比值放到該平面中的三角形中去運算即可得證。
提出者簡介
歐幾裡得（希臘文：Ευκλειδης ，公元前325年—公元前265年），古希臘數學家，被稱為“幾何之父”。他活躍于托勒密一世（公元前323年－公元前283年）時期的亞曆山大裡亞。
他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數學的基礎，總結了平面幾何五大公設，被廣泛的認為是曆史上最成功的教科書。歐幾裡得也寫了一些關于透視、圓錐曲線、球面幾何學及數論的作品。
