曆史
最早有關複數方根的文獻出于公元1世紀希臘數學家海倫，他考慮的是平頂金字塔不可能問題。
16世紀意大利米蘭學者卡爾達諾（Jerome Cardan，1501 ~ 1576）在1545年發表的《重要的藝術》一書中，公布了一元三次方程的一般解法，被後人稱之為“卡當公式”。他是第一個把負數的平方根寫到公式中的數學家，并且在讨論是否可能把10分成兩部分，使它們的乘積等于40時，他把答案寫成 ，盡管他認為和這兩個表示式是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的，但他還是把10分成了兩部分，并使它們的乘積等于40。給出“虛數”這一名稱的是法國數學家笛卡爾（1596 ~ 1650），他在《幾何學》（1637年發表）中使“虛的數”與“實的數”相對應。從此，虛數才流傳開來。
數系中發現一顆新星——虛數，于是引起了數學界的一片困惑，很多大數學家都不承認虛數。德國數學家萊布尼茨（1646 ~ 1716）在1702年說：“虛數是神靈遁迹的精微而奇異的隐避所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩栖物”。然而，真理性的東西一定可以經得住時間和空間的考驗，最終占有自己的一席之地。法國數學家達朗貝爾（1717 ~ 1783）在1747年指出，如果按照多項式的四則運算規則對虛數進行運算，那麼它的結果總是 a+bi 的形式（a、b都是實數）。法國數學家棣莫弗（1667 ~ 1754）在1722年發現了著名的棣莫佛定理。歐拉在1748年發現了有名的關系式，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i來表示-1的平方根，首創了用符号i作為虛數的單位。“虛數”實際上不是想象出來的，而它是确實存在的。挪威的測量學家韋塞爾（1745 ~ 1818）在1797年試圖給于這種虛數以直觀的幾何解釋，并首先發表其作法，然而沒有得到學術界的重視。
18世紀末，複數漸漸被大多數人接受，當時卡斯帕爾·韋塞爾提出複數可看作平面上的一點。數年後，高斯再提出此觀點并大力推廣，複數的研究開始高速發展。詫異的是，早于1685年約翰·沃利斯已經在De Algebra tractatus提出此一觀點。
卡斯帕爾·韋塞爾的文章發表在1799年的《Proceedings of the Copenhagen Academy》上，以當今标準來看，也是相當清楚和完備。他又考慮球體，得出四元數并以此提出完備的球面三角學理論。1804年，Abbé Buée亦獨立地提出與沃利斯相似的觀點，即以來表示平面上與實軸垂直的單位線段。1806年，Buée的文章正式刊出，同年讓-羅貝爾·阿爾岡亦發表同類文章，而阿岡的複平面成了标準。1831年高斯認為複數不夠普及，次年他發表了一篇備忘錄，奠定複數在數學的地位。柯西及阿貝爾的努力，掃除了複數使用的最後顧忌，後者更是首位以複數研究著名的。
複數吸引了著名數學家的注意，包括庫默爾（1844年）、克羅内克（1845年）、Scheffler（1845年、1851年、1880年）、Bellavitis（1835年、1852年）、喬治·皮庫克（1845年）及德·摩根（1849年）。莫比烏斯發表了大量有關複數幾何的短文，約翰·彼得·狄利克雷将很多實數概念，例如素數，推廣至複數。
德國數學家阿甘得（1777 ~ 1855）在1806年公布了複數的圖象表示法，即所有實數能用一條數軸表示，同樣，複數也能用一個平面上的點來表示。在直角坐标系中，橫軸上取對應實數a的點A，縱軸上取對應實數b的點B，并過這兩點引平行于坐标軸的直線，它們的交點C就表示複數 。像這樣，由各點都對應複數的平面叫做“複平面”，後來又稱“阿甘得平面”。高斯在1831年，用實數組 代表複數 ，并建立了複數的某些運算，使得複數的某些運算也象實數一樣地“代數化”。他又在1832年第一次提出了“複數”這個名詞，還将表示平面上同一點的兩種不同方法——直角坐标法和極坐标法加以綜合。統一于表示同一複數的代數式和三角式兩種形式中，并把數軸上的點與實數一一對應，擴展為平面上的點與複數一一對應。高斯不僅把複數看作平面上的點，而且還看作是一種向量，并利用複數與向量之間一一對應的關系，闡述了複數的幾何加法與乘法。至此，複數理論才比較完整和系統地建立起來了。
經過許多數學家長期不懈的努力，深刻探讨并發展了複數理論，才使得在數學領域遊蕩了200年的幽靈——虛數揭去了神秘的面紗，顯現出它的本來面目，原來虛數不“虛”。虛數成為了數系大家庭中一員，從而實數集才擴充到了複數集。
随着科學和技術的進步，複數理論已越來越顯出它的重要性，它不但對于數學本身的發展有着極其重要的意義，而且為證明機翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力，也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據。
主要内容
定義
數集拓展到實數範圍内，仍有些運算無法進行（比如對負數開偶數次方），為了使方程有解，我們将數集再次擴充。
在實數域上定義二元有序對z=(a,b)，并規定有序對之間有運算“+”、“×”（記z1=(a, b)，z2=(c, d)）：
z1 + z2=(a+c, b+d)
z1 × z2=(ac-bd, bc+ad)
容易驗證，這樣定義的有序對全體在有序對的加法和乘法下成一個域，并且對任何複數z，我們有
z=(a, b)=(a, 0) + (0, 1) × (b, 0)
令f是從實數域到複數域的映射，f(a)=(a, 0)，則這個映射保持了實數域上的加法和乘法，因此實數域可以嵌入複數域中，可以視為複數域的子域。
記 i＝(0, 1)，則根據我們定義的運算，(a, b)=(a, 0) + (0, 1) × (b,0)=a+bi，i × i=(0, 1) × (0, 1)=(-1, 0)=-1，這就隻通過實數解決了虛數單位i的存在問題。
形如 的數稱為複數（complex number)，其中規定i為虛數單位，且 （a、b是任意實數）
我們将複數中的實數a稱為複數z的實部（real part），記作 Re z＝a；實數b稱為複數z的虛部（imaginary part），記作 Im z＝b。
當a=0且b≠0時，z=bi，我們就将其稱為純虛數。
複數的集合用C表示，實數的集合用R表示，顯然，R是C的真子集。
複數集是無序集，不能建立大小順序。
複數的模
将複數的實部與虛部的平方和的正的平方根的值稱為該複數的模，記作∣z∣.
即對于複數 ，它的模
共轭複數
釋義
對于複數 ，稱複數 =a-bi為z的共轭複數。即兩個實部相等，虛部互為相反數的複數互為共轭複數(conjugate complex number）。複數z的共轭複數記作 。
性質
根據定義，若 (a∈R，b∈R），則（a∈R，b∈R）。共轭複數所對應的點關于實軸對稱。兩個複數 x+yi 與 x-yi 稱為共轭複數，它們的實部相等，虛部互為相反數。在複平面上，表示兩個共轭複數的點關于x軸對稱，而這一點正是“共轭”一詞的來源——兩頭牛平行地拉一部犁，它們的肩膀上要共架一個橫梁，這橫梁就叫做“轭”。如果用z表示x+yi，那麼在字母z上面加上一條橫線就表示它的共轭複數 x-yi 。
共轭複數有些有趣的性質：
複數的輻角
概述
在複變函數中，自變量z可以寫成 ，r是z的模，即r = |z|；θ是z的輻角，記作 Arg(z)。在區間 [-π, π] 内的輻角稱為輻角主值，記作 arg(z)（小寫的A）。
釋義
任意一個不為零的複數 的輻角有無限多個值，且這些值相差 2π 的整數倍。把适合于 -π≤θ<π 的輻角θ的值，叫做輻角的主值，記作arg (z)。輻角的主值是唯一的。
指數形式：
運算法則
加法法則
複數的加法法則：設z1=a+bi，z2=c+di是任意兩個複數。兩者和的實部是原來兩個複數實部的和，它的虛部是原來兩個虛部的和。兩個複數的和依然是複數。
即
乘法法則
複數的乘法法則：把兩個複數相乘，類似兩個多項式相乘，結果中i2= -1，把實部與虛部分别合并。兩個複數的積仍然是一個複數。
即
除法法則
複數除法定義：滿足 的複數 叫複數a+bi除以複數c+di的商。
運算方法：将分子和分母同時乘以分母的共轭複數，再用乘法法則運算，
即（分母實數化）。
開方法則
若，則
（k＝0，1，2，3，…，n-1）。
運算律
加法交換律：z1+z2=z2+z1
乘法交換律：z1×z2=z2×z1
加法結合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
乘法結合律：(z1×z2)×z3=z1×(z2×z3)
分配律：z1×(z2+z3)=z1×z2+z1×z3
i的乘方法則
i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1（n∈Z）
棣莫佛定理
對于複數z=r(cosθ+isinθ），有z的n次幂 zn=rn[cos(nθ)+isin(nθ)] （其中，n是正整數）
則
數系的擴充——從自然數到複數
數學中，對“數量”的研究起于數，一開始為熟悉的自然數及整數與被描述在算術内的有理數和無理數。
具體來講：
由于計數的需要，人類從現實事物中抽象出了自然數 0、1、2、3、……，它是數學中一切“數”的起點。
由于自然數對減法運算不封閉（即：較小的自然數減去較大的自然數，其結果不是自然數），為了對減法運算封閉，我們将自然數擴充至整數；
由于整數對除法運算不封閉（即：一個整數不能被另一個整數整除，其結果不是整數），為了對除法運算封閉，我們将整數擴充至有理數；
由于有理數對于開方運算不封閉（即：有理數開正整數次方，其結果可以不是有理數），為了對開方運算封閉，我們将有理數擴充至一部分代數數。“代數數”定義為整系數（或有理系數）一元多項式方程的根，它包括一部分實數和一部分虛數。不是代數數的複數被稱為“超越數”，例如 π、e。另外，存在某些代數數，無法利用對有理數進行有限多步的四則運算與開方運算來表示，它們無法表示為關于有理數的代數形式。
另一方面，有理數對于極限運算不封閉，為了對極限運算封閉，我們又将有理數擴充到實數。從而，極限、微積分、無窮級數運算均可以良好操作。也就是說，将定義在實數域上的函數進行極限、定積分、多重積分、無窮級數、無窮積等運算，隻要不發散，其化簡結果都在實數範圍之内。
最後，為了避免負數在實數範圍内無法開偶數次方運算，我們将實數擴充到複數。複數是包含實數的最小代數閉域，我們對任意複數進行四則運算、開方，其化簡結果都是複數。
由上述讨論可知，有理數與複數有兩種劃分方式：
{有理數}＝{整數}∪{分數}＝{正數}∪{零}∪{負數}，
{複數}＝{實數}∪{虛數}＝{代數數}∪{超越數}。
分類
數的分類拓展到複數範圍後，我們對複數範圍的數集做以下分類：
注：①②代表對“有理數”兩種不同的分類方式。
應用
系統分析
在系統分析中，系統常常通過拉普拉斯變換從時域變換到頻域。因此可在複平面上分析系統的極點和零點。分析系統穩定性的根軌迹法、奈奎斯特圖法（Nyquist plot）和尼科爾斯圖法（Nichols plot）都是在複平面上進行的。
無論系統極點和零點在左半平面還是右半平面，根軌迹法都很重要。如果系統極點位于右半平面，則因果系統不穩定； 都位于左半平面，則因果系統穩定； 位于虛軸上，則系統為臨界穩定的。如果系統的全部零點和極點都在左半平面，則這是個最小相位系統。如果系統的極點和零點關于虛軸對稱，則這是全通系統。
信号分析
信号分析和其他領域使用複數可以方便的表示周期信号。模值|z|表示信号的幅度，輻角arg(z)表示給定頻率的正弦波的相位。
利用傅立葉變換可将實信号表示成一系列周期函數的和。這些周期函數通常用形式如下的複函數的實部表示：
其中，ω對應角頻率，複數z包含了幅度和相位的信息。
電路分析中，引入電容、電感與頻率有關的虛部可以方便的将電壓、電流的關系用簡單的線性方程表示并求解。（有時用字母j作為虛數單位，以免與電流符号i混淆。）
反常積分
在應用層面，複分析常用以計算某些實值的反常函數，藉由複值函數得出。方法有多種，見圍道積分方法。
量子力學
量子力學中複數是十分重要的，因其理論是建基于複數域上無限維的希爾伯特空間。
相對論
如将時間變數視為虛數的話便可簡化一些狹義和廣義相對論中的時空度量（Metric）方程。
應用數學
實際應用中，求解給定差分方程模型的系統，通常首先找出線性差分方程對應的特征方程的所有複特征根r，再将系統以形為f(t) =e的基函數的線性組合表示。
流體力學
複函數于流體力學中可描述二維勢流（2D Potential Flow）。
碎形
一些碎形如曼德勃羅集合和茹利亞集（Julia set）是建基于複平面上的點的。
實變初等函數
我們把數學分析中基本的實變初等函數推廣到複變初等函數，使得定義的各種複變初等函數，當z變為實變數x(y=0）時與相應的實變初等函數相同。
注意根據這些定義，在 z 為任意複變數時，
①．哪些相應的實變初等函數的性質被保留下來，
②．哪些相應的實變初等函數的性質不再成立，
③．出現了哪些相應的實變初等函數所沒有的新的性質。
複變指數函數
ea+bi=eaebi=ea(cosb+isinb)。
複數的三角函數
證明：把yi代入泰勒級數，借助和 來化簡即可；
同理可得 aix=cos(xlna)+isin(xlna)= (eix)lna。
借助 eix=cosx+isinx 可以方便地證明棣莫佛定理。
