弦切角定理

弦切角定義

如圖所示，線段PT所在的直線切圓O于點C，BC、AC為圓O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都為弦切角。

弦切角定理

概念及其證明

弦切角定理：弦切角的度數等于它所夾的弧的圓心角度數的一半。

等于它所夾的弧的圓周角度數。

如上圖，已知：直線PT切圓O于點C，BC、AC為圓O的弦。

求證：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

證明：設圓心為O，連接OC，OB,。

∵PC²=PB×AP

∴PC/AP=PB/PC

又∵∠CPB=∠BPC

∴△CAP∽△BCP

∴∠CAP=∠BCP

∴∠TCB=∠BAC

∴∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

綜上所述：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

衍生問題及其證明

已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切線，A為切點，弧CmA是弦切角∠BAC所夾的弧.

求證：弦切角∠BAC的度數等于它所夾的弧的度數的一半

證明：分三種情況：

（1）圓心O在∠BAC的一邊AC上

∵AC為直徑

∴弧CmA=弧CA

∵弧CA為半圓,

∴弧CmA的度數為180°

∵AB為圓的切線

∴∠CAB=90°

∴弦切角∠BAC的度數等于它所夾的弧的度數的一半

（2）圓心O在∠BAC的内部.

過A作直徑AD交⊙O于D,在優弧m所對的劣弧上取一點E，

連接EC、ED、EA。則

∵弧CD=弧CD

∴∠CED=∠CAD

∵AD是圓O的直徑

∴∠DEA=90°

∵AB為圓的切線

∴∠BAD=90°

∴∠DEA=∠BAD

∴∠CEA=∠CED+∠DEA=∠CAD+∠BAD=∠BAC

又∠CEA的度數等于弧CmA的度數的一半

∴弦切角∠BAC的度數等于它所夾的弧的度數的一半

（3）圓心O在∠BAC的外部

過A作直徑AD交⊙O于D，連接CD

∵AD是圓的直徑

∴∠ACD=90°

∴∠CDA+∠CAD=90°

∵AB是圓O的切線

∴∠DAB=90°

∴∠BAC+∠CAD=90°

∴∠BAC=∠CDA

∵∠CDA的度數等于弧CmA的度數的一半。

∴弦切角∠BAC的度數等于它所夾的弧的度數的一半。

弦切角定理逆定理

定理：以三角形任意一條邊為鄰邊，在三角形外部作一個角等于該邊的對角，那麼所作角的另一邊與三角形外接圓相切，切點為所作角的頂點。

幾何描述：設△ABP的外接圓為⊙O，在△ABP外部作∠BAC=∠BPA，則AC切⊙O于A。

注意定理的描述，所作角必須在三角形的外部，且該角與三角形有公共的邊。

該定理的等價描述為：角的度數等于所夾弧所對圓周角的角為弦切角。

幾何描述：設直線AC與圓相交于A，AB是圓的一條弦，P是圓上與A,B不重合的點。若∠BAC=∠BPA，則∠BAC是弦切角，即AC與圓相切于A。

證明：如圖，同樣分類讨論

（1）當∠BPA=90°時，AB為直徑。

∠BAC=∠BPA=90°，即AB⊥AC

經過直徑的一端，并且與直徑垂直的直線是圓的切線，∴AC是⊙O的切線，切點為A。

（2）當∠BPA<90°時，作直徑AD，連接PD，則∠DPA=90°

∵∠BAC=∠BPA,∠DAB=∠DPB

∴∠BAC+∠DAB=∠BPA+∠DPB

即∠DAC=∠DPA=90°

由（1）得AC與⊙O切于A

（3）當∠BPA>90°時，作直徑AD,連接PD,則∠DPA=90°

∵∠BAC=∠BPA,∠BAD=∠BPD

∴∠BAC-∠BAD=∠BPA-∠BPD

即∠DAC=∠DPA=90°

由（1）得AC切⊙O于A

推論

推論内容

若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等。

應用舉例

例1：如圖，在⊙O中，⊙O的切線AC、BC交于點C，求證：∠CAB=∠CBA。

解：∵AC、BC是⊙O的兩條切線，

∴AC=BC（切線長定理）。

∴∠CAB=∠CBA。（等腰三角形“等邊對等角”）。

例2：如圖，AD是ΔABC中∠BAC的平分線，經過點A的圓與BC相切于點D，與AB，AC分别相交于E，F.

求證：EF//BC.

證明：連接DF

∵AD是∠BAC的平分線

∴∠BAD=∠CAD

∵∠EFD=∠BAD

∴∠EFD=∠CAD

∵⊙O切BC于D

∴∠FDC=∠CAD

∴∠EFD=∠FDC

∴EF∥BC

例3:如圖，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直徑，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，

求證：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.

證明：∵AB是⊙O直徑

∴∠ACB=90

∵CD⊥AB

∴∠A+∠B=∠A+∠DCA

∴∠ACD=∠B，

∵MN切⊙O于C

∴∠MCA=∠B，

∴∠MCA=∠ACD，

即AC平分∠MCD，

同理：BC平分∠NCD。