證明
證法1
下面的是第一種方法：利用分比性質(若a÷b=c÷d，則（a-b）÷b=（c-d）÷d,b≠0，d≠0,）。
注：∵（a-b)÷b=a÷b-b÷b=a÷b-1，(c-d)÷d=c÷d-d÷d=c÷d-1，a/b=c/d。
∴（a-b）÷b=（c-d）÷d。
∵△ABD與△ACD同高。
∴S△ABD：S△ACD=BD：CD。
同理，S△OBD：S△OCD=BD：CD。
利用分比性質，得。
S△ABD-S△OBD：S△ACD-S△OCD=BD：CD。
即S△AOB：S△AOC=BD：CD。
命題得證。（由此可得：若X：Y=a：b，X1：Y1=a：b；則（X±X1）：（Y±Y1）=a：b.其中Y、Y1≠0,Y≠Y1且Y-≠Y1）。
證法2
下面的是第二種方法：相似三角形法。
已知：△ABC的兩條中線AD、CF相交于點O，連接并延長BO，交AC于點E。
求證：AE=CE證明：
過點O作MN∥BC,，交AB于點M，AC于點N；
過點O作PQ∥AB，交BC于點P，交AC于點Q。
∵MN∥BC。
∴△AMO∽△ABD，△ANO∽△ACD。
∴MO：BD=AO：AD，NO：CD=AO：AD。
∴MO：BD=NO：CD。
∵AD是△ABC的一條中線。
∴BD=CD。
∴MO=NO。
∵PQ∥AB。
∴△CPO∽△CBF，△CQO∽△CAF。
∴PO：BF=CO：CF，QO：AF=CO：CF。
∴PO：BF=QO：AF。
∵CF是△ABC的一條中線。
∴AF=BF。
∴PO=QO。
∵MO=NO，∠MOP=∠NOQ，PO=QO。
∴△MOP≌△NOQ(SAS)。
∴∠MPO=∠NQO。
∴MP∥AC（内錯角相等，兩條直線平行）。
∴△BMR∽△BAE（R為MP與BO的交點），△BPR∽△BCE。
∴MR：AE=BR：BE，PR：CE=BR：BE。
∴MR：AE=PR：CE。
∵MN∥BC，PQ∥AB。
∴四邊形BMOP是平行四邊形。
∴MR=PR（平行四邊形的對角線互相平分）。
∴AE=CE。
命題得證。
推廣
四邊形ABCD（不一定是凸四邊形），設AC,BD相交于E則有BE：DE=S△ABC：S△ADC。
證明：∵S△ABC=S△ABE+S△BEC。
S△ADC=S△AED+S△CED。
又∵S△ABE：S△AED=S△BEC：S△CED=BE：ED（∵高相等）。
∴S△ABE+S△BEC：S△AED+S△CED=S△ABC：S△ADC=BE:ED。
此定理是面積法最重要的定理之一。
