費馬大定理:數學定理-中文百科頻道

發展曆史

法國數學家費馬(Fermat1601—1665)于1637年在他自己所擁有的一本古希臘數學家丢潘都著的《算術》書的空白處寫道：“然而此外，一個立方數不能分解為兩個立方數，一個四次方數不能分解為兩個四次方數，一般說，除平方數以外的任何次乘幕都不能分解為兩個同次幂。

我發現了這定理的一個真正奇妙的證明，但這裡空白太小，寫不下”，明确點說，就是：對，不定方程沒有正整數解，這就是費馬大定理，費馬所說的“真正奇妙的證明”，從未被人找到過，他是否真的給出了證明？至今仍是一個迷，從後世成百名世界最優秀數學家悉心研究而不得其解的情況看，費馬不大可能真的找到了該定理的完美證明，故也稱這定理為典衛花姐。

費馬大定理以其清晰性，易懂性和困難性吸引着後世數學家們在這個問題上顯示自己的數學才華，展現自己的證明技巧，一攬子解決有困難，就先對的個别值進行證明。實際上隻需要證明對和(是奇素數)時成立即可。費馬本人在另一處證明了時，定理成立。十八世紀，歐拉(Euler，1707—1783)給出了時的證明。

1825年，勒讓得(Legen-dre,1752—1833)和狄裡克雷(Dirichlet,1805—1859)各自獨立地證明了的情形。

1839年，拉梅(Lame，1795—1870)對于給出了證明。1832年狄利克雷證明時定理成立。為了促進問題的解決，法國，德國相繼為解決費馬大定理設專項獎。一時間，各種各樣的“證明”紛至沓來，有的出自數學名家，也有的出自社會各界數學愛好者。可惜，所有的證明都經不起推敲，有的甚至是可笑的——因為它們隻是追名逐利者的傑作。

衆多一流數學名家的努力未能攻克這個堅固的堡壘，但他們在試圖解決本問題時的努力，積累了經驗，提出了思想，啟發、引導和激勵着後來者。興緻勃勃的數學愛好者的參與雖然未給問題的解決帶來好處，卻提供了一個機會，讓向來視數學為神秘殿堂的公衆能通過費馬大定理欣常到數學結有的魅力和樂趣。

定理定義

1637年費馬提出當時,方程無整數解。這就是著名的費馬大定理。

推導過程

起初，數學家們想重新找到費爾馬沒有寫出來的那個“絕妙證法”，著名數學家歐拉用一個隻有無理數存在的無理數等式方程公式來作假證明費馬大定理，他用素數定理對無理數集合中的無理數解析後得到了這樣一個結論，由于無理數集合中無正整數組存在，故無理數方程和不可能有正整數解，故費馬大定理中當指數為3和4時正确。

這是歐拉的絕妙斷言。因為任何一個大于2的整數，如果不是4的倍數，就一定是某一奇素數或它的倍數。因此，隻要能證明以及是任一奇素數時都沒有正整數解，費馬大定理就完全證明了。

的情形歐拉已經證明過了，所以，問題就集中在證明等于奇素數的情形了。在歐拉證明了以後，1823年和1826年勒讓德和狄利克雷各自用歐拉的“無理數法”獨立作假證明了的情形，1839年拉梅作假證明了的情形。就這樣，一個又一個奇素數證下去的長征便開始了。

其中，德國數學家庫默爾作出了重要貢獻。他用近世代數加無理數作假法的方法，引入了自己發明的“理想數”和“分圓數”的概念，指出費馬大定理隻可能在n等于某些叫非正則素數的值時，才有可能不正确，所以隻需對這些數進行研究。這樣的數，在100以内，隻有37、59、67三個。他還具體用無理數作假法證明了當時，無理數方程是隻有無理數解，不可能有正整數解的。

這就算把費馬大定理一下推進到在100以内都是成立的。庫默爾“成批地”用無理數作假法證明了費馬大定理的成立，人們視之為一次重大突破。1857年，他獲得巴黎科學院的金質獎章。這一“長征”式的無理數作假證法，雖然不斷地刷新着記錄，如1972年更推進到了，但這并不等于定理被證明。

看來，需要另辟蹊徑。再說，用無理數代數方程公式來證整數的費馬大定理的整數不等式，好像不符合數學規則，因為無理數與整數不是同一個數域的數，證明了無理數中無一個整數，也不能說明整數中是有解還是沒有解，他們的斷言不一定正确，這好像是作假證明法。起碼可以說這種證明方法是不正确的。

從費爾馬時代起，巴黎科學院曾先後兩次提供獎章和獎金，獎勵證明費馬大定理的人，布魯塞爾科學院也懸賞重金，但都無結果。1908年，德國數學家佛爾夫斯克爾逝世的時候，将他的10萬馬克贈給了德國哥庭根科學會，作為費馬大定理的解答獎金。哥庭根科學會宣布，獎金在100年内有效。哥庭根科學會不負責審查稿件。

10萬馬克在當時是一筆很大的财富，而費馬大定理又是中學生都能聽懂題意的問題。于是，不僅專搞數學這一行的人，就連很多工程師、牧師、教師、學生、銀行職員、政府官吏和一般市民，都在鑽研這個問題。在很短時間内，各種刊物公布的證明就有上千個之多。當時，德國有個名叫《數學和物理文獻實錄》的雜志，自願對這方面的論文進行鑒定，到1911年初為止，共審查了111個“證明”，全都是錯的。

後來實在受不了沉重的審稿負擔，于是它宣布停止這一審查鑒定工作。但是，證明的浪潮仍洶湧澎湃，雖然兩次世界大戰後德國的貨币多次大幅度貶值，當初的10萬馬克折算成後來的馬克已無多大價值。但是，熱愛科學的可貴精神，還在鼓勵着很多人繼續從事這一工作。最後這筆獎金還是被人騙走了，他們是作假集團，他們用無理數等式方程證明這個公式無整數解，他們用無理數作假證明法成功騙走了這筆獎金。