發展簡史
柯西，法國數學家、物理學家、天文學家。他1789年出生于巴黎，父親是一位精通古典文學的律師，與當時法國的大數學家拉格朗日與拉普拉斯交往密切。
柯西少年時代的數學才華頗受這兩位數學家的贊賞，并預言柯西日後必成大器。(拉格朗日後面也确實擔任了他的老師)
1807年至1810年柯西在工學院學習，曾當過交通道路工程師。由于身體欠佳，接受了拉格朗日和拉普拉斯的勸告，放棄工程師而緻力于純數學的研究。
1821年柯西提出極限定義的方法，把極限過程用不等式來刻畫，後經魏爾斯特拉斯改進，成為現在所說的柯西極限定義。
雖然柯西主要研究數學分析領域，但他在其它方面的研究成果也很豐富。
複變函數的微積分理論就是由他創立的。在代數方面、理論物理、光學、彈性理論方面，也有突出貢獻。
柯西的數學成就不僅輝煌，而且數量驚人。柯西全集有27卷，其論著有800多篇，在數學史上是僅次于歐拉的多産數學家。
定理定義
柯西（Cauchy）中值定理：設函數滿足
⑴在閉區間上連續；
⑵在開區間 内可導；
⑶對任意。
那麼在 内至少有一點，使得成立
與拉氏定理的聯系
在柯西中值定理中，若取時，則其結論形式和拉格朗日中值定理的結論形式相同。
因此，拉格朗日中值定理為柯西中值定理的一個特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推廣。
驗證推導
可構造輔助函數在上連續，在内可導，且有。
由羅爾定理可知，存在，使得 ，即，又 ，所以有。
定理推廣
泰勒公式
柯西中值定理最主要的應用是證明帶有拉格朗日餘項的階泰勒公式，隻要反複使用柯西中值定理多次就能證明，下面以為例說明。
例1設在内二次可微，證明：任意的，在之間存在，使
這就是函數在點鄰域内的一階泰勒公式。
證明令
利用。
在兩次應用到柯西中值定理後可以得到：
命題得證。
洛必達法則
柯西中值定理的一個最重要的應用就是可以推導計算待定型的極限最有效的方法——洛必達法則。
洛必達法則是求兩個無窮小量或兩個無窮大量的比的極限。在滿足一定條件下可以化成兩個函數的導數的比值極限，這樣就有可能使得原待定型變成簡便而有效的求非待定型極限的問題。
我們得出下面這個定理（洛必達法則）：
⑴兩個函數和在開區間 可微，并且在這個開區間上， 的導數不等于0；
⑵存在極限（或），其中A為一個有限的常數。則在以下情況下：
（或者和）。那麼就有：
（或）。在區間的另一個端點也存在相類似的結果。這個定理就稱之為洛必達法則，能有效地應用于待定型的極限計算。
不等式
柯西中值定理在不等式的證明也有廣泛應用，關鍵是f(x)和g(x)要選得恰當。
例3試證明當時，（引用文内原題，解法重新作出）。
證明 設
則在區間上滿足柯西中值定理條件，所以存在，使，即
結論得證。
中值點
中值點的存在性的證明是柯西中值定理最典型的應用之一。
例4設，函數在區間上連續，在内可導，則存在使得。
證明：設，顯然，在上滿足柯西中值定理的條件，于是存在，使得
即存在使得，即可得結論。
定理意義
柯西簡潔而嚴格地證明了微積分學基本定理即牛頓－萊布尼茨公式。他利用定積分嚴格證明了帶餘項的泰勒公式，還用微分與積分中值定理表示曲邊梯形的面積，推導了平面曲線之間圖形的面積、曲面面積和立體體積的公式。
柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，是微分學的基本定理之一。其幾何意義為，用參數方程表示的曲線上至少有一點，它的切線平行于兩端點所在的弦。該定理可以視作在參數方程下拉格朗日中值定理的表達形式。
柯西中值定理粗略地表明，對于兩個端點之間的給定平面弧，至少有一個點，使曲線在該點的切線平行于兩端點所在的弦。
