夾逼定理

定理定義

一、如果數列 及 滿足下列條件:

（1）當 時，其中 ，有 ，

(2) 有相同的極限 ，設 ,

則，數列 的極限存在，且 .

證明: 因為 ， ， 所以根據數列極限的定義，對于任意給定的正數 ， 存在正整數 、 ，當 時，有 ，當 時，有 ， 取 ， 則當 時， 、 同時成立，且 ，即 ，， 又因為 ， 即 成立。也就是說 .

二、

與 在 連續且存在相同的極限 ，即 時

則若有函數 在 的某鄰域内恒有

則當 趨近 , 有

即

故

簡單地說：函數,函數，函數的極限是，函數的極限也是 ，那麼函數的極限就一定是，這個就是夾逼定理 。

定理推廣

1.設，為收斂數列，且：當趨于無窮大時，數列，的極限均為：.

若存在，使得當時，都有,則數列收斂，且極限為.

2.夾逼準則适用于求解無法直接用極限運算法則求極限的函數極限，間接通過求得和的極限來确定的極限。

定理意義

 夾逼定理是一個非常好的定理，因為它間接通過求得和的極限來确定的極限。正如郭濤在萬有引力中所說的，數是萬物之源，數學是我們探究未知的鑰匙。我們不僅要會用夾逼定理求數學中的極限，更應該會求生活中的極限，當我們面對困難，面對無法解決的問題，面對我們一無所知的事物，能否換個角度去思考，從它周圍的事物着手，或許難題會迎刃而解，或許就會柳暗花明。