作者介紹
克萊姆（Cramer Gabriel，瑞士數學家 1704-1752）克萊姆1704年7月31日生于日内瓦，早年在日内瓦讀書，1724年起在日内瓦加爾文學院任教，1734年成為幾何學教授，1750年任哲學教授。他自1727年進行為期兩年的旅行訪學。在巴塞爾與約翰．伯努利、歐拉等人學習交流，結為摯友。
後又到英國、荷蘭、法國等地拜見許多數學名家，回國後在與他們的長期通信中，加強了數學家之間的聯系，為數學寶庫也留下大量有價值的文獻。他一生未婚，專心治學，平易近人且德高望重，先後當選為倫敦皇家學會、柏林研究院和法國、意大利等學會的成員。
主要著作是《代數曲線的分析引論》（1750），首先定義了正則、非正則、超越曲線和無理曲線等概念，第一次正式引入坐标系的縱軸（Y軸），然後讨論曲線變換，并依據曲線方程的階數将曲線進行分類。
為了确定經過5個點的一般二次曲線的系數，應用了著名的“克萊姆法則”，即由線性方程組的系數确定方程組解的表達式。該法則于1729年由英國數學家馬克勞林得到，1748年發表，但克萊姆的優越符号使之流傳。
基本介紹
假若有n個未知數，n個方程組成的方程組：或者寫成矩陣形式為Ax=b，其中A為n*n方陣，x為n個變量構成列向量，b為n個常數項構成列向量。
而當它的系數矩陣可逆，或者說對應的行列式|A|不等于0的時候，它有唯一解xi=|Ai|/|A|，其中Ai〔i=1，2，……，n〕是矩陣A中第i列的a1i，a2i，ani（即第i列）依次換成b1，b2，bn所得的矩陣。但當A不是方陣,克拉默法則則無法求解,其實利用矩陣秩的理論可以将克拉默法則進行推廣,使其能求解任意有唯一解的線性方程組。
克萊姆法則不僅僅适用于實數域，它在任何域上面都可以成立。
使用克萊姆法則求線性方程組的解的算法時間複雜度依賴于矩陣行列式的算法複雜度O(f(n))，其複雜度為O(n·fn)，一般沒有計算價值，複雜度太高。
當b1,b2,bn不全為0時，方程組為非齊次性方程組。
系數矩陣A非奇異時，或者說行列式|A|≠0時，方程組有唯一的解；
系數矩陣A奇異時，或者說行列式|A|=0時，方程組有無數個解或無解。
當b1=b2=bn=0時，方程組為齊次性方程組。
若系數矩陣A非奇異時，則方程組有唯一的解，其所有分量均為0，我們通常稱這個解為平凡解。
若齊次線性方程組有非零解，系數矩陣必然奇異，或者說對應的系數行列式必為0。
其實萊布尼茲〔1693〕，以及馬克勞林〔1748〕亦知道這個法則，但他們的記法不如克萊姆。
内容要點
從三元線性方程組的解的讨論出發，對更一般的線性方程組進行探讨。
在引入克萊姆法則之前，先引入有關n元線性方程組的概念。
含有n個未知數的線性方程組稱為n元線性方程組。當其右端的常數項不全為零時，線性方程組⑴稱為非齊次線性方程組，當全為零時，線性方程組⑵稱為齊次線性方程組，即：定理1(克萊姆法則）若線性方程組的系數行列式D≠0，則線性方程組有唯一解，其中Dj是把D中第j列元素對應地換成常數項而其餘各列保持不變所得到的行列式。
一般來說，用克萊姆法則求線性方程組的解時，計算量是比較大的。對具體的數字線性方程組，當未知數較多時往往可用計算機來求解。用計算機求解線性方程組目前已經有了一整套成熟的方法。
克拉默法則在一定條件下給出了線性方程組解的存在性、唯一性，與其在計算方面的作用相比，克萊姆法則更具有重大的理論價值。
法則總結
1、克萊姆法則的重要理論價值：研究了方程組的系數與方程組解的存在性與唯一性關系;
2、應用克萊姆法則判斷具有N個方程、N個未知數的線性方程組的解:
（1）當方程組的系數行列式不等于零時，則方程組有解，且具有唯一的解；
（2）如果方程組無解或者有兩個不同的解，那麼方程組的系數行列式必定等于零；
3、克萊姆法則的局限性：
（1）當方程組的方程個數與未知數的個數不一緻時，或者當方程組系數的行列式等于零時，克萊姆法則失效。
（2）運算量較大，求解一個N階線性方程組要計算N+1個N階行列式。
技術應用
克萊姆法則在解決微分幾何方面十分有用。
先考慮兩條等式和。因為u和v都是沒相關的變數，我們可定義和，找出一條等式适合是克萊姆法則的簡單應用。
首先，我們要計算F、G、x和y的導數，然後用兩個雅可比矩陣來表示的方程，用類似的方法就可以找到。
