定義
設為 維光滑流形， 為 的開集，為光滑映射。若在 有極大階，則存在 的鄰域 ，使得限制 為微 分同胚。
簡介
反函數定理說明如果從 的一個開集到 的連續可微函數 的全導數在點 可逆（也就是說， 在點 的雅可比行列式不為 零)，那麼在點的附近具有反函數。也就是說，在 的某個鄰域内， 的反函數存在。而且，反函數 也是連續可微的。在 無窮維的情況中，需要弗雷歇導數在附近具有有界的反函數。
最後，定理說明:
這個麼式還可以從鍊式法則推出。鍊式法則說明，如果和是兩個函數，分别在 和 具有全導數，那麼:
設 為 為， 就是恒等函數，其雅可比矩陣也是單位矩陣。在這個特殊的情況中，上面的公式可以對求解。注意鍊式法則假設了函數 的全導數存在，而反函數定理則證明了 在點 具有導數。
的反函數存在，等于是說方程組 可以對 求解，如果我們把 分别限制在 和 的足夠小的鄰域内。
應用例子
考慮從 到 的向量值函數，定義為:
那麼雅可比矩陣為:
其行列式為:
行列式 處處不為零。根據反函數定埋，對于中的每一個非零點 ，都存在 的一個鄰域，在這個鄰域内具有反函數。
證明
反函數定理有許多證明。在教科書中最常見的證明依靠了壓縮映射原理，又稱為巴拿赫不動點定理。（這個定理還可以用于證明常微分方程的存在性）。由于這個定理在無窮維（巴拿赫空間）的情形也适用，因此它可以用來證明反函數定理的無窮維形式。
另外一個證明（隻在有限維有效）用到了緊集上的函數的極值定理。
還有一個證明用到了牛頓法，它的好處是提供了定理的一個有效的形式。也就是說，給定函數的導數的特定界限，就可估計函數可逆的鄰域的大小。
定理推廣
流形
反函數定理可以推廣到可微流形之間的可微映射。在這個情形中，定理說明對于可微映射 ，如果 的導數 在内的某個點 是線性同構，那麼存在 的一個開鄰域 ，使得: 是微分同胚。注意這意味着M和 N的維數必須相同。
如果的導數在内的所有點都是同構，那麼映射就是局部微分同胚。
巴拿赫空間
反函數定理還可以推廣到巴拿赫空間之間的可微映射。
設 為巴拿赫空間，是内的原點的一個開鄰域。設 連續可微，并假設在點0的導數 是從 到的有界線性同構。那麼在 内存在 的一個開鄰域 ，以及一個連續可微的映射 : ，使得對于内的所有 ，都有 而且, 是方程 的足夠小的解
在函數是 之間的雙射的簡單情況中，函數具有連續的反函數。這可以從開映射定理立即推出。
巴拿赫流形
在巴拿赫流形的反函數定理中，可以把上面的兩個推廣結合起來。
常秩定理
反函數定理（以及隐函數定理）可以視為常秩定理的特殊情況，它說明在某個點局部常秩的光滑映射可以化為該點附近的特定的正規形式。 當的導數在點可逆時，它在的鄰域也可逆，因此導數的秩是常數，故可以使用常秩定理。
