拉普拉斯算子

定義

拉普拉斯算子是n維歐幾裡德空間中的一個二階微分算子，定義為梯度（▽f）的散度（▽·f）。因此如果f是二階可微的實函數，則f的拉普拉斯算子定義為：

f的拉普拉斯算子也是笛卡爾坐标系xi中的所有非混合二階偏導數：

作為一個二階微分算子，拉普拉斯算子把C函數映射到C函數，對于k≥2時成立。算子Δ:C(R)→C(R)，或更一般地，定義了一個算子Δ:C(Ω)→C(Ω)，對于任何開集Ω時成立。

函數的拉普拉斯算子也是該函數的黑塞矩陣的迹

另外，滿足▽·▽f=0的函數f，稱為調和函數。

表示式

二維空間

其中x與y代表x-y平面上的笛卡爾坐标：

另外極坐标的表示法為：

三維空間

笛卡爾坐标系下的表示法

圓柱坐标系下的表示法

球坐标系下的表示法

N維空間

在參數方程為（其中以及）的N維球坐标系中，拉普拉斯算子為：

其中是N−1維球面上的拉普拉斯-貝爾特拉米算子。

橢圓型偏微分方程

[elliptic partial differential equation]

橢圓型偏微分方程是偏微分方程的一個類型，簡稱橢圓型方程。這類方程主要用來描述物理中的平衡穩定狀态，如定常狀态的電磁場、引力場和反應擴散現象等。

橢圓型方程是由方程中主部的系數來界定的。對兩個自變量的二階線性或半線性方程

在不等式成立的區域内，就稱方程是橢圓型的。此時，可以通過自變量的非奇異變換将方程化為标準型

對于高階線性方程，設階線性偏微分算子為

其中，該偏微分算子的主部是

若對及任意非零向量都有，就稱該方程在中是線性橢圓型方程。如果在中每一點都是橢圓型的，就稱該方程在中是線性橢圓型方程。

線型橢圓型方程的典型代表是拉普拉斯方程（也叫調和方程）

其中，這個算子叫拉普拉斯算子（Laplace operator），也叫調和算子。可以說，調和方程是最基本，同時也是最重要的線性橢圓型方程。

對于非線性方程，也可以定義橢圓型方程。例如，考慮二階實系數拟線性方程

其中，。如果對任意非零向量，，及，有

就稱方程是中的拟線性橢圓型方程。類似地，可以定義高階拟線性橢圓型方程。

推廣

拉普拉斯算子可以用一定的方法推廣到非歐幾裡德空間，這時它就有可能是橢圓型算子，雙曲型算子，或超雙曲型算子。

在闵可夫斯基空間中，拉普拉斯算子變為達朗貝爾算子。

達朗貝爾算子通常用來表達克萊因-高登方程以及四維波動方程。