簡介
條件概率的公式：P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)，即事件A和事件B同時發生的概率等于在發生A的條件下B發生的概率乘以A的概率。由條件概率公式推導出貝葉斯公式：P(B|A)=P(A|B)P(B)/P(A)，即已知P(A|B)，P(A)和P(B)可以計算出P(B|A)。
假設B是由相互獨立的事件組成的概率空間{b1,b2,...,bn}。則P(A)可以用全概率公式展開：P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)。貝葉斯公式表示成：P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)/(P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...P(A|Bn)P(Bn))；常常把P(Bi|A)稱作後驗概率，而P(A|Bn)P(Bn)為先驗概率。而P(Bi)又叫做基礎概率。
貝葉斯公式看起來很簡單，但是在自然科學領域應用範圍及其廣泛。同時理論本身蘊含了深刻的思想。
定義
貝葉斯的統計學中有一個基本的工具叫貝葉斯公式、也稱為貝葉斯法則， 盡管它是一個數學公式，但其原理毋需數字也可明了。如果你看到一個人總是做一些好事，則那個人多半會是一個好人。這就是說，當你不能準确知悉一個事物的本質時，你可以依靠與事物特定本質相關的事件出現的多少去判斷其本質屬性的概率。 用數學語言表達就是：支持某項屬性的事件發生得愈多，則該屬性成立的可能性就愈大。
貝葉斯公式又被稱為貝葉斯定理、貝葉斯規則是概率統計中的應用所觀察到的現象對有關概率分布的主觀判斷（即先驗概率）進行修正的标準方法。
所謂貝葉斯公式，是指當分析樣本大到接近總體數時，樣本中事件發生的概率将接近于總體中事件發生的概率。但行為經濟學家發現，人們在決策過程中往往并不遵循貝葉斯規律，而是給予最近發生的事件和最新的經驗以更多的權值，在決策和做出判斷時過分看重近期的事件。面對複雜而籠統的問題，人們往往走捷徑，依據可能性而非根據概率來決策。這種對經典模型的系統性偏離稱為“偏差”。由于心理偏差的存在，投資者在決策判斷時并非絕對理性，會行為偏差，進而影響資本市場上價格的變動。但長期以來，由于缺乏有力的替代工具，經濟學家不得不在分析中堅持貝葉斯法則。
診斷模型
背景材料及引言
7歲女孩曉宇（化名）患急性支氣管炎,在武漢市兒童醫院住院4天，醫生為确診病情，為她抽血化驗了32個指标，僅化驗費就花費1130元。曉宇的家長質疑：醫院如此看病，是過度檢查。曉宇的接診醫生李志超說：“曉宇入院時,根據其家長自述病情，我認為孩子的情況有些嚴重,于是确定了上述化驗指标”。該院四内科副主任李醫生說：在當時情況下,李志超對患者的病情判斷、以及開出的化驗指标,都是有道理的。但如果是我接診，會以自己的經驗有針對性地進行化驗檢查,可能不會一下開出這麼多化驗指标。該科主任溫玟莉主任醫師稱：一次抽血化驗32個指标，是因為李志超當時懷疑孩子得了敗血症，這樣處理沒有問題。但最後的檢查結果并不是敗血症，這隻能說明李志超較年輕，缺乏豐富的臨床經驗，隻有通過全面檢查才能确診。
在醫患關系緊張，看病難、看病貴的現實情況下，我們應如何看待這個頗有争議的案例，醫生看病是應該有針對性地開方,還是列出“算法式”的化驗指标進行排查，本研究以貝葉斯公式為依據,從我國現行的醫療體制出發,對此類問題進行了有益的探索,以期建立一種定量化的診斷模型。
模型建立
設“患者有某種病症”為事件A，引起事件A的病因為樣本空間Ω。B1，B2，…Bn為Ω的一個分劃，即Bi∩Bj=Φ,i≠j,Ｕn i=1,Bi=Ω，并假定P(Bi)>0。由貝葉斯公式，由某病因引起事件A的概率為：
P（Bi|A)=P(Bi)P(A|Bi)/n/j=1P(Bj)P(A⌒Bj)(1)
公式(1)為醫生有針對性地确診提供了參考。
在疹療過程中，醫生要根據臨床經驗對各種病因Bi進行權衡。如果誤診，則有可能承擔相應的醫療事故風險，相應的誤診概率記為P′(Bi)，并設因可能承擔風險而承擔的賠償費用為C′i，患者承擔醫生針對病因Bi開出的疹療方案的費用為Ci，于是在一次診治過程中患者承擔的平均費用為：
E(A)=n i=1P(Bi)Ci(2)
醫生可能承擔的平均賠償金額為：
E′(A)=n i=1P′(Bi)C′i(3)
我們稱該模型為診斷模型，并以δ1≤E(A)-E′(A)≤δ2為标準來衡量診斷方案的合理性，其中δ1≥0,δ2為某一不是特别大的正數。即患者所承擔的平均醫療費用應比醫生可能承擔的平均賠償金要多，但兩者不應差别太大。
模型檢驗
我們以發熱和上腹疼痛兩個病症的相關數據對該模型進行檢驗。設原假設為H0：診斷是合理的。備擇假設為H1，診斷合理與否需要進一步考查。
對表1和表2中相關數據的說明：中國2002年9月1日實施的《醫療事故處理條例》(以下簡稱《條例》)第五十條對賠償項目和标準的規定與當地上一年度職工平均工資水平緊密挂鈎，實行一次性結算。表1和表2中的工資水平參考了2007年2月湖北省第十屆人民代表大會上的湖北省政府工作報告中的數據：2006年城鎮居民人均可支配收入為9803元。
對發熱症狀中的“非典”及“某種類似非典的突發疾病”所可能帶來的醫療事故我們以一級醫療事故中的死亡來處理，賠償金額按《國家賠償法》第二十七條的規定，檢查費用以一次全身檢查所需費用10000元進行計算；對“心肺功能缺陷”所可能帶來的醫療事故我們按二級醫療事故處理，賠償金額取202110，檢查費用按心電圖20元次，心髒彩超180元次,心肌酶譜60元次，肺檢查80元次進行計算，藥費以相應檢查費用的0.8計算。對上腹疼痛症狀中的“胃癌”及“心、膈等器官有病變”可能帶來的醫療事故我們按二級醫療事故來處理,賠償金額取202110，對B3的檢查費用以B超40元次，催C120元次，胃鏡(無痛)240元次進行計算，藥費以相應檢查費用的0.8計算，對B4的檢查費用以胃鏡(無痛)240元次和心髒彩超180元次進行計算，藥費以相應檢查費用的0.8計算。對兩種症狀中“其它”原因對患者可能造成的損害我們以《條例》第三十三條(三)的規定進行處理：在現有醫學科學技術條件下，發生無法預料或者不能防範的不良後果的，不屬于醫療事故。對兩種症狀中“其它”原因，患者的一次醫療費用我們取城鎮居民人均可支配收入的5%，即490元進行計算。所有醫療費用均指一次診治的檢查費和藥費之和,不包括後續治療的費用。檢查費用以武漢市某三級甲等醫院的相關标準為參考。
表1發熱症狀診斷模型的相關數據注:B1=人體生理功能的正常表現：B4=某種類似非典的突發疾病；B5=心肺功能缺陷。表2上腹疼痛症狀診斷模型的相關數據注，B2=胃潰瘍、十二指腸潰瘍；B4=心、膈等器官有病變。
設“發熱症狀”為事件A1，“上腹疼痛症狀”為事件A2，由表1和表2的數據計算得(四舍五入精确到元)：
E（A1）=121，E′（A1）=187165；E（A2）=265，E′（A2）=22232
我們會發現原假設H0：診斷是合理的，是不成立的。這些數據告訴我們醫生這個職業的确是個高風險的職業，在中國建立醫療責任保險制度有着必要性與迫切性。
模型評價
該模型在合理假設的基礎上,對“對症下藥”進行量化,對診療方案的合理性給出了一個量化的标準，有一定的合理性與臨床參考價值。特别是在用數據對模型檢驗後，證實了醫生的确是個高風險的職業，也顯示了在中國建立醫療責任保險制度的必要性和緊迫性。但在模型應用過程中還需要注意以下幾個方面：
①病因的複雜性。病因的複雜性會導緻樣本空間的分劃的個數n比較大，因此需要結合醫學規律對樣本空間分劃進行合理的選擇。
②患者體質的差别。不同的患者對同類的醫療事故，由于體質的差别可能帶來不同程度的損害。
③醫生臨床診斷水平的差異。不同的醫生，由于經驗等方面的因素，誤診概率可能有較大的差别。
④醫院的潛規則。有的醫院把醫生的收入與其給醫院的創收挂鈎，這樣同一病症在不同的醫院治療，診療費用會有較大的差别。
⑤實際賠償金的差别。不同地區上一年度人均收入差别較大,加之實際賠償金還與實際談判能力有關系，這樣就可能導緻同類醫療事故在不同地區及不同的患者(或家屬)身上，實際賠償金差别也較大
⑥現行醫療體制對模型的影響。下面對此進行較詳細的分析。
中國現行的醫療事故賠償責任者隻有一個，就是醫療機構，但醫療機構作為理性人，會盡量減少其自身的醫療成本以實現利益的最大化。醫療機構會将其自身受到的損失通過以下三種主要方式進行轉移：一是利用價格機制，提高醫療費用，即将損失分散于所有的就醫者身上；二是由具體責任人承擔風險，即将損失的一部分轉移給與事故直接相關的醫務人員；三是通過責任保險機制，将損失轉移給保險公司。但長期以來，在中國實際上隻有第一種和第二種途徑在發揮着作用,責任保險機制可以說作用甚微。
這樣,就很容易導緻醫療費用上漲，引發醫患關系緊張。醫學的專業化使得醫療機構和患者之間存在巨大的信息差，醫療機構有動機也有能力通過使患者進行重複或者不必要的檢查項目等方法多收費用,彌補自身損失.因此模型作用的發揮,還需要以下幾方面的配合：
①重視醫德建設,提高醫護人員自身修養。裘法祖院士在文獻裡有很深刻的認識。
②加強醫患之間的溝通，進行換位思考，讓醫生理解患者的苦衷，讓患者理解診療的風險。
③加強誤診規律的研究。醫療技術的進步從來都是和風險相并存的，從某種程度上說誤診是不可避免的，但作為醫護人員要提高生命權保護意識，不斷提高自身的臨床思維能力診斷能力力争把誤診率降到最低。
④加強醫護人員臨床思維能力和臨床經驗的提高。醫學很大程度上是經驗學科,醫學理論最終還要内化為醫護人員的實際診斷能力才能發揮作用。公式(1)為醫護人員提高診斷水平提供了一個很好的參考。
⑤探索适合中國國情的、于患于醫均有益的醫療責任保險制度。尤其是在生命意識越來越受到重視的今天，隻有切實的降低行醫的風險，才能從根本上解決醫患關系緊張的現狀，實現醫患關系的和諧。
在ACM比賽中的應用
賽題：POJ 3716 Panda’s Birthday Present
題意是說，有4個六面的骰子，在一開始的時候對每一面各以50%的概率染成紅色或藍色，然後擲了兩次，每次的得分為4個骰子裡面擲出紅色向上的數目。給定兩次的得分x,y(0<=x,y<=4)，問第三次的得分的期望是多少。
這道題目最後的“期望”的定義不甚明确。如果按照解ACM題的思路，我會這樣考慮問題：把四個骰子的紅色面數組合成一個狀态
從貝葉斯概率的角度來想這個問題，在不知道x,y時計算出的四元組
在等号右面，先驗概率P(
這裡Z是歸一化因子，即為對所有四元組
求得了這個之後，第三次得分的期望即為：
ps.據說有人得到超級簡單的公式，最後結果就是(x+y+10)/7，再ps.這次月賽單挑拿了個第三，居然是在退役後拿到曆史最好成績……
意義
例如：一座别墅在過去的 20 年裡一共發生過 2 次被盜，别墅的主人有一條狗，狗平均每周晚上叫 3 次，在盜賊入侵時狗叫的概率被估計為 0.9，問題是：在狗叫的時候發生入侵的概率是多少？
我們假設 A 事件為狗在晚上叫，B 為盜賊入侵，則以天為單位統計，P(A) = 3/7，P(B) = 2/(20*365) = 2/7300，P(A|B) = 0.9，按照公式很容易得出結果：P(B|A) = 0.9*(2/7300) / (3/7) = 0.00058
另一個例子，現分别有 A、B 兩個容器，在容器 A 裡分别有 7 個紅球和 3 個白球，在容器 B 裡有 1 個紅球和 9 個白球，現已知從這兩個容器裡任意抽出了一個紅球，問這個球來自容器 A 的概率是多少?
假設已經抽出紅球為事件 B，選中容器 A 為事件 A，則有：P(B) = 8/20，P(A) = 1/2，P(B|A) = 7/10，按照公式，則有：P(A|B) = (7/10)*(1/2) / (8/20) = 0.875
貝葉斯公式為利用搜集到的信息對原有判斷進行修正提供了有效手段。在采樣之前，經濟主體對各種假設有一個判斷（先驗概率），關于先驗概率的分布，通常可根據經濟主體的經驗判斷确定（當無任何信息時，一般假設各先驗概率相同），較複雜精确的可利用包括最大熵技術或邊際分布密度以及相互信息原理等方法來确定先驗概率分布。
舉例
舉個例子來說明：假設有一台癌症診斷儀，通過對它以往的診斷記錄的分析，如果患者确實患有癌症它的确診率為90%，若果患者沒有癌症，被診斷成癌症的概率為10%。
問題：如果一個人被這台診斷儀确診成癌症，這個人患有癌症的概率是多少？
根據貝葉斯公式設A：癌症診斷儀給出癌症診斷。B1：病人是癌症患者。B2病人不是癌症患者。
P(A|B1)=90%；P(A)=90%*P(B1)+10%*P(B2)；
則P(B1|A)=P(B1)*90%/(90%*P(B1)+10%*P(B2))；
我們知道人群中癌症患者的比重是很小了，假設為1%，則P(B1)=1%；P(B2)=99%；
可以算出：P(B1|A)=8%!
看出什麼問題了嗎？如果醫生僅僅根據癌症診斷儀給出的确診信息就認為病人有很大可能性患有癌症(醫生經常這麼做)，那就太不付責任了！因為即使這樣，這個病人得癌症的概率還是隻有8%!
對公式P(B1|A)=P(B1)*90%/(90%*P(B1)+10%*P(B2))做一下簡單的變形：可以得到P(B1|A)=1/(1+(10%*P(B2))/(P(B1)*90%)).在結果中隻有一個變量P(B2)/(P(B1)，這個比率也叫做基礎比率。基礎比率越大，P(B1|A)的值越小。在本例中P(B2))/(P(B1)=99:1。
在推理中基礎比率起到的至關重要的作用。可是大部分人在生活中做判斷的時候卻忽略了它,從而對于必然的小概率事件的發生深信不疑。
