定理内容
Heine定理
lim[x->a]f(x)=b存在的充要條件是:對屬于函數f(x)定義域的任意數列，且lim[n->∞]an=a，an不等于a，有lim[n->∞]f(an)=b。
海涅定理表明了函數極限與數列極限的關系。如果極限lim[x→x0]f(x)存在，{xn}為函數f(x)的定義域内任一收斂于x0的數列，且滿足：xn≠x0（n∈N+），那麼相應的函數值數列{f(xn)}必收斂，且lim[n→∞]f(xn)=lim[x→x0]f(x)
定理證明
雖然數列極限與函數極限是分别獨立定義的,但是兩者是有聯系的。海涅定理深刻地揭示了變量變化的整體與部分、連續與離散之間的關系，從而給數列極限與函數極限之間架起了一座可以互相溝通的橋梁。它指出函數極限可化為數列極限，反之亦然。在極限論中海涅定理處于重要地位。有了海涅定理之後，有關函數極限的定理都可借助已知相應的數列極限的定理予以證明。
定理讨論
如果一個集合是緊緻的，則它必定是閉合的。
設一個集合是緊緻的。與一個會聚點的至少一個鄰域不相交的那些集合的有限集合不能是開覆蓋，因為這些不交接的鄰域的交集形成了一個開集，它把不包含在那個集合的有限集合内的一個點包含在這個集合内。考慮這個集合的所有元素的那些鄰域減去包含這個會聚點的集合，使得每個鄰域都不交集于這個會聚點的至少一個鄰域。這個鄰域的集合的所有子集因此有早先讨論的形式，因此不能是開子覆蓋。因此最初的不與這個會聚點的鄰域相交的這種鄰域的集合也不形成開覆蓋，即使它不包含這個會聚點但包含在這個集合内的所有其他元素。因此，這個會聚點必定在這個集合中。
如果一個集合是緊緻的，則它是有界的。
為什麼?考慮以一個公共點為中心有任何半徑的那些開球。這可以覆蓋任何集合，因為在這個集合中所有點都用與那個點有某種距離。這個覆蓋的任何有限覆蓋必定是有界的，因為它會被界定在這個子覆蓋的最大開球内。因此，這個子覆蓋的所覆蓋的任何集合都必定是有界。
