基本定義
一般地，把形如y=ax²+bx+c（a≠0）（a、b、c是常數）的函數叫做二次函數，其中a稱為二次項系數，b為一次項系數，c為常數項。x為自變量，y為因變量。等号右邊自變量的最高次數是2。
頂點坐标
交點式為 y=a（x-x1）（x-x2）（僅限于與x軸有交點的抛物線），
與x軸的交點坐标是A（X1，0）和B（x2,0）。
注意：“變量”不同于“未知數”，不能說“二次函數是指未知數的最高次數為二次的多項式函數”。“未知數”隻是一個數（具體值未知，但是隻取一個值），“變量”可在一定範圍内任意取值。在方程中适用“未知數”的概念（函數方程、微分方程中是未知函數，但不論是未知數還是未知函數，一般都表示一個數或函數——也會遇到特殊情況），但是函數中的字母表示的是變量，意義已經有所不同。從函數的定義也可看出二者的差别。
曆史
大約在公元前480年，古巴比倫人和中國人已經使用配方法求得了二次方程的正根，但是并沒有提出通用的求解方法。公元前300年左右，歐幾裡得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程。
7世紀印度的婆羅摩笈多是第一位懂得使用代數方程的人，它同時容許有正負數的根。
11世紀阿拉伯的花拉子密 獨立地發展了一套公式以求方程的正數解。亞伯拉罕·巴希亞（亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱）在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法傳入歐洲。
據說施裡德哈勒是最早給出二次方程的普适解法的數學家之一。但這一點在他的時代存在着争議。這個求解規則是：在方程的兩邊同時乘以二次項未知數的系數的四倍；在方程的兩邊同時加上一次項未知數的系數的平方；然後在方程的兩邊同時開二次方（引自婆什迦羅第二）
函數性質
- 二次函數的圖像是抛物線，但抛物線不一定是二次函數。開口向上或者向下的抛物線才是二次函數。抛物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線。對稱軸與抛物線唯一的交點為抛物線的頂點P。特别地，當b=0時，抛物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）。
2.抛物線有一個頂點P，坐标為P當時，P在y軸上；當 時，P在x軸上。
3.二次項系數a決定抛物線的開口方向和大小。當a>0時，抛物線開口向上；當a<0時，抛物線開口向下；|a|越小，則抛物線的開口越大；|a|越大，則抛物線的開口越小
4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。當a與b同号時（即ab>0），對稱軸在y軸左側；當a與b異号時（即ab<0）（可巧記為：左同右異），對稱軸在y軸右側。
5.常數項c決定抛物線與y軸交點。抛物線與y軸交于(0, c）
6.抛物線與x軸交點個數：時，抛物線與x軸有2個交點。時，抛物線與x軸有1個交點。當時，抛物線與x軸沒有交點。
7.當a>0時，，函數在處取得最小值上是減函數，在上是增函數；抛物線的開口向上；函數的值域是
當a<0時，函數在處取得最大值；在上是增函數，在 上是減函數；抛物線的開口向下；函數的值域是
當b=0時，抛物線的對稱軸是y軸，這時，函數是偶函數，解析式變形為y=ax²+c(a≠0)。
8.定義域：R
9.值域：當a>0時，值域是 ；當a<0時，值域是
奇偶性：當b=0時，此函數是偶函數；當b不等于0時，此函數是非奇非偶函數。
周期性：無
解析式：
①一般式：
⑴a≠0
⑵若a>0，則抛物線開口朝上；若a
⑶頂點：
⑷
若Δ>0，則函數圖像與x軸交于兩點：
和；
若Δ=0，則函數圖像與x軸交于一點：
若Δ
②頂點式：此時頂點為（h,k)
時，對應頂點為 ，其中,
③交點式：
函數圖像與x軸交于和兩點。
表達式
頂點式
y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k為常數),頂點坐标為（h,k)，對稱軸為直線x=h，頂點的位置特征和圖像的開口方向與函數y=ax²的圖像相同，當x=h時，y最大（小）值=k.有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式。
例：已知二次函數y的頂點(1,2)和另一任意點(3,10)，求y的解析式。
解：設y=a(x-1)²+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)²+2。
注意：與點在平面直角坐标系中的平移不同，二次函數平移後的頂點式中，h>0時，h越大，圖像的對稱軸離y軸越遠，且在x軸正方向上，不能因h前是負号就簡單地認為是向左平移。
具體可分為下面幾種情況：
當h>0時，y=a(x-h)²的圖像可由抛物線y=ax²向右平行移動h個單位得到；
當h>0時，y=a(x+h)²的圖像可由抛物線y=ax²向左平行移動h個單位得到；
當h>0,k>0時，将抛物線y=ax²向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)²+k的圖像；
當h>0,k>0時，将抛物線y=ax²向左平行移動h個單位，再向下移動k個單位，就可以得到y=a(x+h)²-k的圖像；
當h＜0,k>0時，将抛物線y=ax²向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)²+k的圖像；
當h＜0,k＜0時，将抛物線y=ax²向左平行移動|h|個單位，再向上移動|k|個單位可得到y=a(x-h)²+k的圖像。
交點式
[僅限于與x軸即y=0有交點時的抛物線，即b2-4ac≥0] .
已知抛物線與x軸即y=0有交點A(x1, 0)和B(x2, 0),我們可設 ,然後把第三點代入x、y中便可求出a。
由一般式變為交點式的步驟： (韋達定理)
重要概念：a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向。a>0時，開口方向向上；a絕對值可以決定開口大小。a的絕對值越大開口就越小，a的絕對值越小開口就越大。
f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引導出交點式的系數 (y為截距) 二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
歐拉交點式：
若ax²+bx+c=0有兩個實根x1,x2，則 此抛物線的對稱軸為直線。
三點式
方法1：
已知二次函數上三個點，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)。把三個點分别代入函數解析式y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k為常數)，有：
得出一個三元一次方程組，就能解出a、b、c的值。
方法2：
已知二次函數上三個點，(x1, y1)、(x2, y2)、(x3, y3)
利用拉格朗日插值法，可以求出該二次函數的解析式為：
與X軸交點的情況:
當時，函數圖像與x軸有兩個交點，分别是(x1, 0)和(x2, 0)。
當 時，函數圖像與x軸隻有一個切點，即。
當時，抛物線與x軸沒有公共交點。x的取值範圍是虛數
函數圖像
基本圖像
在平面直角坐标系中作出二次函數y=ax2+bx+c的圖像，可以看出，在沒有特定定義域的二次函數圖像是一條永無止境的抛物線。 如果所畫圖形準确無誤，那麼二次函數圖像将是由平移得到的。
軸對稱
二次函數圖像是軸對稱圖形。對稱軸為直線
對稱軸與二次函數圖像唯一的交點為二次函數圖像的頂點P。
特别地，當b=0時，二次函數圖像的對稱軸是y軸（即直線x=0）。是頂點的橫坐标（即x=？）。
a,b同号，對稱軸在y軸左側；
a,b異号，對稱軸在y軸右側
頂點
二次函數圖像有一個頂點P，坐标為P(h,k)。
當h=0時，P在y軸上；當k=0時，P在x軸上。即可表示為頂點式y=a(x-h)2+k（a≠0）
，。
開口
二次項系數a決定二次函數圖像的開口方向和大小。
當a>0時，二次函數圖像向上開口；當a<0時，抛物線向下開口。
|a|越大，則二次函數圖像的開口越小。
決定位置因素
一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。
當a>0,與b同号時（即ab>0），對稱軸在y軸左； 因為對稱軸在左邊則對稱軸小于0，也就是- b/2a
當a>0,與b異号時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要異号
可簡單記憶為左同右異，即當對稱軸在y軸左時，a與b同号（即a>0，b>0或a
事實上，b有其自身的幾何意義：二次函數圖像與y軸的交點處的該二次函數圖像切線的函數解析式（一次函數）的斜率k的值。可通過對二次函數求導得到。
決定交點因素
常數項c決定二次函數圖像與y軸交點。
二次函數圖像與y軸交于（0,C）點
注意：頂點坐标為（h,k)， 與y軸交于（0,C)。
與x軸交點數
a0;k>0或a>0;k
k=0時，二次函數圖像與x軸隻有1個交點。
質疑點：a0時，二次函數圖像與x軸無交點。
當a>0時，函數在x=h處取得最小值 =k，在xh範圍内是增函數（即y随x的變大而變大），二次函數圖像的開口向上，函數的值域是y>k
當a =k，在xh範圍内是減函數（即y随x的變大而變小），二次函數圖像的開口向下，函數的值域是y
當h=0時，抛物線的對稱軸是y軸，這時，函數是偶函數
對稱關系
對于一般式：
①y=ax2+bx+c與y=ax2-bx+c兩圖像關于y軸對稱
②y=ax2+bx+c與y=-ax2-bx-c兩圖像關于x軸對稱
③y=ax2+bx+c與y=-ax2-bx+c-b2/2a關于頂點對稱
④y=ax2+bx+c與y=-ax2+bx-c關于原點中心對稱。（即繞原點旋轉180度後得到的圖形）
對于頂點式：
①y=a(x-h)2+k與y=a(x+h)2+k兩圖像關于y軸對稱，即頂點(h, k)和(-h, k)關于y軸對稱，橫坐标相反、縱坐标相同。
②y=a(x-h)2+k與y=-a(x-h)2-k兩圖像關于x軸對稱，即頂點(h, k)和(h, -k)關于x軸對稱，橫坐标相同、縱坐标相反。
③y=a(x-h)2+k與y=-a(x-h)2+k關于頂點對稱，即頂點(h, k)和(h, k)相同，開口方向相反。
④y=a(x-h)2+k與y=-a(x+h)2-k關于原點對稱，即頂點(h, k)和(-h, -k)關于原點對稱，橫坐标、縱坐标都相反。
（其實①③④就是對f(x)來說f(-x),-f(x),-f(-x)的情況）
五點法
五點草圖法又被叫做五點作圖法是二次函數中一種常用的作圖方法。
注明：雖說是草圖，但畫出來絕不是草圖。
五點草圖法中的五個點都是極其重要的五個點，分别為：頂點、與x軸的交點、與y軸的交點及其關于對稱軸的對稱點。
Ps.正規考試也是用這種方法初步确定圖像。但是正規考試的要求在于要列表格，取x、y，再确定總體圖像。五點法是可以用在正規考試中的。
描點法
在初中數學中，要求采用描點法畫出二次函數圖像。
其做法與五點法類似：為例
先取頂點，用虛線畫出對稱軸。取與x軸兩個交點（如果存在）、y軸交點及其對稱點（如果存在）和另外兩點及其對稱點。Ps.原則上相鄰x的差值相等，但遠離頂點的點可以适當減小差值
2、依據表格數據繪制函數圖像,如圖一
方程關系
特别地，二次函數（以下稱函數）
當y=0時，二次函數為關于x的一元二次方程（以下稱方程），即
此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。
函數與x軸交點的橫坐标即為方程的根。
1．二次函數y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a≠0)的圖像形狀相同，隻是位置不同，它們的頂點坐标及對稱軸如下表：
y=ax² (0，0) x=0
y=ax²+K (0，K) x=0
y=a(x-h)² (h，0) x=h
y=a(x-h)²+k (h，k) x=h
y=ax²+bx+c (-b/2a，(4ac-b^2);/4a)x=-b/2a
當h>0時，y=a(x-h)^2的圖像可由抛物線y=ax²向右平行移動h個單位得到，
當h
當h>0,k>0時，将抛物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)²+k（h>0,k>0）的圖像
當h>0,k0,k
當h0時，将抛物線y=ax^2向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位，就可得到y=a(x+h)²+k（h0）的圖像
當h
在向上或向下。向左或向右平移抛物線時，可以簡記為“上加下減，左加右減”。
因此，研究抛物線 y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像，通過配方，将一般式化為y=a(x-h)2+k的形式，可确定其頂點坐标、對稱軸，抛物線的大體位置就很清楚了。這給畫圖像提供了方便。
2．抛物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像：當a>0時，開口向上，當a
3．抛物線y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，當x ≤ -b/2a時，y随x的增大而減小；當x ≥ -b/2a時，y随x的增大而增大。若a
4．抛物線y=ax2+bx+c的圖像與坐标軸的交點：
(1)圖像與y軸一定相交，交點坐标為(0, c)；
(2)當時，圖像與x軸交于兩點A(x1, 0)和B(x2, 0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根．這兩點間的距離 另外，抛物線上任何一對對稱點的距離可以由（A為其中一點的橫坐标的兩倍）
當時，圖像與x軸隻有一個切點；
當時，圖像與x軸沒有公共點。當a>0時，圖像落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0；當a
5．抛物線y=ax2+bx+c的最值：如果a>0，則當時，；如果時，
頂點的橫坐标，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐标，是最值的取值。
6．用待定系數法求二次函數的解析式
(1)當題給條件為已知圖像經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式（表達式）為一般形式：(a≠0)
(2)當題給條件為已知圖像的頂點坐标或對稱軸或極大（小）值時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)2+k(a≠0)。
(3)當題給條件為已知圖像與x軸的兩個交點坐标時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。
學習方法
知識要點
1.要理解函數的意義。
2.要記住函數的幾個表達形式，注意區分。
3.一般式，頂點式，交點式，等，區分對稱軸，頂點，圖像，y随着x的增大而減小（增大）(增減值）等的差異性。
4.聯系實際對函數圖像的理解。
5.計算時，看圖像時切記取值範圍。
6.随圖像理解數字的變化而變化。 二次函數考點及例題
二次函數知識很容易與其他知識綜合應用，而形成較為複雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現。
誤區提醒
（1）對二次函數概念理解有誤，漏掉二次項系數不為0這一限制條件；
（2）對二次函數圖像和性質存在思維誤區；
（3）忽略二次函數自變量取值範圍；
（4）平移抛物線時，弄反方向。
定義與表達式
一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：
y=ax²+bx+c
（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a
則稱y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
三種表達式
一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）
頂點式：y=a(x-h)²+k[抛物線的頂點P(h, k)]
交點式：y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點A（x1，0）和B（x2，0）的抛物線]
注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系：
，，。
抛物線的性質
- 抛物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
對稱軸與抛物線唯一的交點為抛物線的頂點P。
特别地，當b=0時，抛物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
2.抛物線有一個頂
點P，坐标為
當 時，P在y軸上；當時，P在x軸上。
3.二次項系數a決定抛物線的開口方向，|a|決定抛物線開口大小。
當a>0時，抛物線開口向上；當a
|a|越大，則抛物線的開口越小。
4.一次項系數b和二次項系數a有1個交點。
5.常數項c決定抛物線與y軸交點。
抛物線與y軸交于（0，c）
抛物線與x軸
Δ=b²-4ac>0時，抛物線與x軸有2個交點。
Δ=b²-4ac=0時，抛物線與x軸有1個交點。
Δ=b²-4ac<0時，抛物線與x軸沒有交點。
系數表達的意義
a決定抛物線的開口方向和大小.當a>0時,抛物線向上開口；當a
b和a共同決定對稱軸的位置，當a與b同号時（即ab＞0）,對稱軸在y軸左；當a與b異号時（即ab＜0）
c決定抛物線與y軸交點，抛物線與y軸交于（0,c）
