增根:數學概念-中文百科頻道

非函數

兩非函數方程增根

在兩非函數方程（如圓錐曲線）聯立求解的過程中，增根的出現主要表現在定義域的變化上。

例如：若已知橢圓(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(a>b>0)，O為原點坐标，A為橢圓右頂點，若橢圓上存在一點P，使OP⊥PA，求橢圓的圓心率的範圍。

存在一種解法：

橢圓上存在一點P，使OP⊥PA，即是以OA為直徑畫圓，要求與橢圓有除了A(a,0)以外的另外一個解。所以聯立橢圓和圓的方程：

(x-a/2)^2+y^2=(a/2)^2→x^2+y^2-ax=0

→b^2·x^2+a^2(ax-x^2)-a^2·b^2=0 （*）

因為有兩個根，所以△>0

∴△=(2b^2-a^2)>0

∴e≠（1/2）^(1/2) （二分之根号二）

而正解卻是

由（*）得 x1=a x2=a·b^2/c^2

∴0

∴（1/2）^(1/2)<1

然而問題出在，無論怎麼取，隻要e≠(1/2）^(1/2)，好像△永遠都>0

于是我們取e=1/2

假設 a^2=4 b^2=3 c^2=1

即可得橢圓(x^2)/4+(y^2)/3=1···①

與圓x^2+y^2-2x=0···②

聯立即可得 x^2-8x+12=0 ···(*)

有十字相乘 x1=2 x2=6

顯然此時 x2=6是增根

将x2=6 帶入①式 y^2= -24

将x2=6 帶入②式 y^2= -24

将x2=6 帶入(*)式 y^2=2x-x^2= -24

可知這裡的的确确是産生了一個增根，而且在解題過程中不能通過任何方式排除，這說明多個非函數方程聯立求解時，方程本身無法限制x的取值。一般來說，直線與圓錐曲線的聯立并沒有出現過算出兩個解，還需要帶回去驗根的情況，大概是因為圓錐曲線不是函數，而直線是函數的原因。

不過值得注意的是：

①不是任何的兩個非函數方程聯立都會産生增根。例如圓不是函數，但求兩個圓的交點，不會産生增根。

②增根的産生和定義域有關系，但沒有絕對的關系。不能說聯立方程時，将x定義域擴大或縮小就必然會引起增根。如上述例題中，①式定義域（-2，2） ②式定義域（0，2）大多數人是在②式中，用x表示y，寫成y=ax-x^2，再帶入①式，産生了增根。但是如果我們在①式中用x表示y，寫成y^2=b^2(1-x^2/a^2)，再帶入②式，我們依然會得到增根。

下面列出兩種必然會出現增根的一般式：

橢圓與抛物線增根

橢圓(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(a>b>0)和抛物線y^2=2px(p>0)聯立方程式得

b^2·x^2+a^2(2px)-a^2·b^2=0

由韋達定理得 x1·x2=(-a^2·b^2)/b^2=-a^2<0 且 x1+x2=-2a^2·p/b^2<0

可知，若x1>0，則x2<0，出現原因是忽略了y^2=2px(p>0)中的隐含定義域x>0。聯立方程式求解誤認為x∈R 。（另外我們還知道|x1|<|x2|）

雙曲線與抛物線增根

雙曲線(x^2)/a^2-(y^2)/b^2=1(a,b>0)和抛物線y^2=2px(p>0)聯立方程式得

b^2·x^2-a^2(2px)-a^2·b^2=0

由韋達定理得 x1·x2=(-a^2·b^2)/b^2=-a^2<0 且 x1+x2=2a^2·p/b^2>0

可知，若x1>0，則x2<0，出現原因是忽略了y^2=2px(p>0)中的隐含定義域x>0。聯立方程式求解誤認為x∈R 。（另外我們還知道|x1|>|x2|）