基本概念
直線系(system of straight lines)亦稱直線束，是具有某一共同性質的直線的集合。如在平面仿射坐标系中，與已知直線Ax+By+C=0平行的所有直線組成一個直線系，它的方程為Ax+By+λ=0，式中λ是參數。又如，通過一個定點(x0，y0)的所有直線也是一個直線系，稱為以(x0，y0)為束心的直線束，它的方程為λ1(x-x0)+λ2(y-y0)=0，式中λ1，λ2是不同時為零的參數。如果隻用一個參數來表示，直線束的方程為y-y0=k(x-x0)，式中k為參數，但此直線束不包含直線x=x0。一般地，對于給定的兩直l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，含有參數λ1，λ2(不同時為零)的方程λ1(A1x+B1y+C1)+λ2(A2x+B2y+C2)=0表示由l1和l2決定的直線束，并且：1.當l1與l2相交時，是以l1與l2的交點為中心的直線束，稱為中心直線束；2.當l1與l2平行(但不重合)時，該直線束稱為平行直線束，且當參數λ1，λ2取值為同号或異号時，所對應的直線位于直線l1與l2之間或之外。
基本例題
例1
求與直線3x＋4y－7=0垂直，且在x軸上的截距為(-2)的直線。
解法一：利用“垂直”寫出直線系方程，再用“在x軸上截距為-2”這個條件确定參數。
和直線3x+4y－7=0垂直的直線系方
程是4x－3y＋m=0(其中m是參數)。
直線方程是4x－3y+8=0．
解法二：利用“在x軸上截距為-2”這個條件寫出直線系，再用“垂直”這個條件确定參數。
∵此直線過點(-2，0)用點斜式寫出直線系y－0=k(x＋2)，即y=k(x＋2)，(斜率k是參數)。
k1k=-1
例2
求和直線3x＋4y+2=0平行，且與坐标軸構成的三角形面積是24的直線l的方程。
解法一：先用“平行”這個條件寫出直線系方程，再用“面積”這個條件确定參數。
與直線3x+4y＋2=0平行的直線系方程是
所求直線l的方程為3x＋4y±24=0．
解法二：先用“面積”這個條件寫出直線系方程，再用“平行”這個條件确定參數。
設所求直線在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，則有
畫草圖可知a、b同号，
∴｜ab｜＝ab．
48x＋a2y－48a＝0②．因為②式的直線與3x＋4y＋2＝0平行，
所求直線為48x＋64y-48(±8)＝0．
即3x＋4y±24=0．
例3
已知兩直線l1∶x＋2＝0，l2∶4x＋3y＋5＝0．及定點A(-1，－2)．
求：直線l，它過l1、l2的交點且與點A的距離等于1。
解法一：先利用“過l1、12的交點”寫出直線系方程，再根據“l與A點距離等于1”來确定參數。
過l1、l2交點的直線系方程是
(x＋2)＋λ(4x＋3y＋5)＝0，λ是參數。化為
(1+4λ)x+3λy＋(2＋5λ)＝0①．
得λ=0。
代入方程①，得x＋2=0。因為直線系方程①中不包含l2，所以應檢查l2是否也符合所求l的條件。
∴l2也符合要求。
答：所求直線l的方程是
x+2=0和4x+3y+5=0．
：l1、l2的交點為(－2，1)，過這點的直線系方程為
y－1=k(x＋2)②，斜率k是參數。
即kx－y＋(2k＋1)＝0③，再根據方程③的直線與點A(-1，-2)的距離為1，來确定參數k。
得所求直線l的方程為4x＋3y＋5=0。
因為直線系方程②不包括與y軸平行的直線，所以應檢查過點(－2，1)且與y軸平行的直線
x=－2是否符合所求直線l的條件。
∵點A(-1，-2)到直線x=-2的距離為1，所以直線x=-2即x+2=0也符合l的要求，應該補上，
答：所求直線l的方程是
x＋2=0和4x＋3y＋5=0．
例4
在△ABC中，AB邊所在直線方程為4x＋y－12=0。高BH所在直線方程為5x-4y－15=0。高AH所在直線方程為2x+2y-9=0。
求：第三條高CH所在直線方程與AC邊所在直線方程。
解：(1)H為垂心，CH過BH與AH的交點，且與AB垂直。
過BH與AH交點的直線系方程為
(5x-4y-15)+λ(2x+2y-9)=0①，即
(5＋2λ)x＋(-4＋2λ)y＋(-15－9λ)＝0②．
∴②與AB垂直，(即CH⊥AB)，
代入①，得CH所在直線方程是3x-12y-1＝0．
(2)直線AC是過AB與AH的交點且與BH垂直的直線，可設AC方程是過AB與AH交點的直線系方程
(4x+y-12)+λ(2x＋2y－9)=0③，即
(4＋2λ)x+(1+2λ)y＋(-12-9λ)=0④，
∵AC⊥BH，
∴5(4＋2λ)＋(-4)(1＋2λ)＝0，得λ=-8。
代入④得直線AC的方程是4x+5y-20＝0。
例5
已知2a-3b＝1(a，b∈R)，求證：直線ax＋by-5=0必過一個定點，并求出此定點。
解：代入ax＋by-5＝0，得(x-10)＋b(3x＋2y)=0①
∵b是實數，
∴方程①可看作過兩相交直線交點的直線系方程，這兩條直線分别是
l1∶x－10＝0，
l2∶3x+2y＝0，這兩條直線的交點坐标為P(10，-15)。
∵P點坐标代入直線ax＋by-5＝0的左邊得
a×10＋b(-15)-5
=5(2a-3b)-5
=5×1-5
＝0．
(注意2a-3b＝1是已知條件)，
∴直線ax＋by－5=0過定點P(10，－15)。
例6
已知直線l1∶2x-3y-1＝0，l2：3x－y-2=0，l3：7x-7y-2009=0；求過l1、l2交點且與l3垂直的直線方程。
分析：過兩直線l1，l2的交點的直線系方程為l1＋λl2＝0(λ∈R)，根據已知條件，用待定系數法求出λ即可。
解：設λ為待定系數，則所求直線系方程是
(2x-3y-1)+λ(3x－y-2)=0，①
整理為
(2＋3λ)x＋(-3-λ)y＋(-1-2λ)=0．②
∵方程②與直線l3垂直，其系數關系為
7(2＋3λ)-7(-3-λ)=0→λ=-5/4③
③式代入②，所求直線為7x＋7y－6=0。
例7
長度為1的線段AB(B在A的右邊)在x軸上移動，點P(0，1)與A點連成直線，點Q(1，2)與B點連成直線，求直線PA和直線QB交點的軌迹方程；并作出草圖。
解：如圖J1－15．設交點為M(x，y，)．A(a，0)，則B(a＋1，0)，直線PA方程為
即x＋ay=a．
直線BQ方程為
即2x＋ay-2-2a=0．
∴動點M的參數方程為
2x＋ay-2-2a＝0
消去參數a得軌迹方程為
例8
已知定點O(0，0)和A(6，0)，M是OA中點，以OA為一邊作菱形OABC交于P點。當菱形變動時，求P點的軌迹方程。
解：如圖J1－17。設動點為P(x，y)，相關點為(x′，y′)，A(6，0)，則M(3，0)
∵|AB|=|AO|=6
∴(x-4)2+y2=4
所求軌迹方程為(x-4)2＋y2＝4．(去掉(6，0)和(2，0)兩點)．
例9
在△ABC中，B，C為定點，tgB·tgC=3ctgA+1，且ctgA≠0，求動點A的軌迹方程。
解：如圖J1－18．設A(x，y)，B(－a，0)，C(a，0)．
∵-3ctgA=1-tgB·tgC
∴tgB＋tgC＝3．
設角α＝∠XCA
tgC=-tgα=-kAC
所求軌迹方程為：3x2＋2ay－3a2=0．
例10
一動點到正三角形三邊的距離的平方和等于常數，求動點的軌迹方程。
解：如圖J1－19，取正三角形ABC的AB邊的所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸，建立直角坐标系．
設△ABC的邊長為2a(a＞0)，則A(-a，0)，B(a，0)，
作PL⊥AB于L，PM⊥BC于
M，PN⊥AC于N．
∴｜PL｜2＋｜PM｜2＋｜PN｜2＝λ2
(λ＞0，λ為定值)。
AC所在直線方程為
BC所在直線方程為
故P點的軌迹方程為
當λ＜a時，無軌迹。
例11
曲線C的方程是f(x，y)=0，那麼曲線C關于直線y=x－2的對稱曲線C′的方程是
(A)f(y+2，x)=0．
(B)f(x-2，y)=0．
(C)f(y＋2，x-2)=0．
(D)f(y-2，x＋2)=0．
分析：根據示意圖J1－20的直觀思考。
∴f(x，y)=
f(y′＋2，x′-2)=0
即f(y＋2，x－2)=0．
∴應選擇(C)．
