偶函數:數學學科術語-中文百科頻道

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最早的奇偶函數的定義

1727年，年輕的瑞士數學家歐拉在提交給聖彼得堡科學院的旨在解決“反彈道問題”的一篇論文（原文為拉丁文）中，首次提出了奇、偶函數的概念。若用-x代替x,函數保持不變，則稱這樣的函數為偶函數(拉丁文functionespares)。歐拉列舉了三類偶函數和三類奇函數，并讨論了奇偶函數的性質。法國數學家達朗貝爾(J.R.D.Alembert，1717-1783)在狄德羅(D.Diderot,1713-1784)主編的《大百科全書》第7卷（1757年出版）關于函數的詞條中說：“古代幾何學家，更确切地說是古代分析學家，将某個量x的不同次幂稱為x的函數．”類似地，法國數學家拉格朗日《解析函數論》（1797）開篇中也說，早期分析學家們使用“函數”這個詞，隻是表示“同一個量的不同次幂”，後來，其涵義被推廣，表示“以任一方式得自其他量的所有量”，萊布尼茨和約翰· 伯努利最早采用了後一涵義。在1727年的論文中，歐拉在讨論奇、偶函數時确實沒有涉及任何超越函數。因此，最早的奇、偶函數概念都是針對幂函數以及相關複合函數而言，歐拉提出的“ 奇函數”、“偶函數”之名顯然源于幂函數的指數或指數分子的奇偶性：指數為偶數的幂函數為偶函數，指數為奇數的幂函數為奇函數。

《無窮分析引論》中的奇、偶函數概念

1748年, [1] 歐拉出版他的數學名著《無窮分析引論》，将函數确立為分析學的最基本的研究對象．在第一章，他給出了函數的定義、對函數進行了分類，并再次讨論了兩類特殊的函數：偶函數和奇函數。歐拉給出的奇、偶函數定義與1727年論文中的定義實質上并無二緻，但他讨論了更多類型的奇、偶函數，也給出了奇函數的更多的性質。

歐拉的困惑和失誤

歐拉認為，函數與函數是等價的，所以盡管奇函數與偶函數的乘積為奇函數，但有時這樣的乘積也可能會是偶函數。鑒于此，歐拉提出，要使一個偶函數的幂仍為偶函數，就必須對幂指數進行限制，特别的，如果指數為分數，那麼它的分母就不能為偶數。在将偶函數定義為和的複合函數時，歐拉特别增加了一個限制條件：中不能含有之類的根式 [1] 。顯然，歐拉未能區别函數和函數。

法文和英文中的奇偶函數

雖然達朗貝爾在《大百科全書》中給出了函數的定義，并介紹了有理函數、無理函數、齊次函數、相似函數，但隻字未提“奇函數”和“偶函數”這兩種特殊函數。

1786年，法國人裴奇（F.pezzi）将《無窮分析引論》第1卷譯成了法文，“奇函數”和“偶函數”分别被譯為“fonction paire”“fonction impaire”,這是兩個數學名詞在法文中的首次出現。

1792年，法國數學家勒讓德（A.Legendre）(1752-1833)向科學院提交論文“關于橢圓超越性”中提出了“正弦函數的偶函數”。勒讓德可能沿用了裴奇的譯名或直接翻譯了歐拉的名詞。這裡我們需要指出的是，将“偶函數”“奇函數”的拉丁文翻譯成對應的法文，并不會産生不同的譯法，因為最遲在笛卡兒（R.Descartes,1596-1650）的《幾何學》中已經有了法文的“偶數”（nombres pairs）和“奇數”(nombres impairs)之名。

“奇函數”、“偶函數”這兩個名稱在18世紀末的法國并未得到普遍使用；或者說，函數的奇偶性還沒有受到當時法國數學家的普遍關注。1796年，法國數學家拉貝将《無窮分析引論》全書譯成法文，其中拉貝同樣将“奇函數”、“偶函數”分别譯為“fonction paire”“fonction impaire”

1809年，蘇格蘭數學家華裡司（W.Wallace,1768-1843）将勒讓德的論文譯成英文，發表在《數學文庫》(MathematicsRepository)上。華裡司很自然地将 “function paire”譯為“even function”。這是“even function”這個詞在英語世界中的首次出現。不過，在英國著名數學家胡頓（C.Hutton，1737-1823）于1815年出版的《數學與哲學辭典》中，雖然有“函數”和“微積分中的函數”這兩個詞條，但奇、偶函數念卻付之阙如。而德摩根的《代數學基礎》（偉烈亞力和李善蘭譯為《代數學》）雖對函數進行了清晰地分類，但仍隻字未提奇、偶函數。在美國，數學家羅密士（E.Loomis,1811-1889）的微積分暢銷書《解析幾何與微積分基礎》（李善蘭與偉烈亞力譯為《代微積拾級》）雖然給出了隐函數、顯函數、增函數、減函數之名，但同樣不含奇、偶函數之說。這說明，奇、偶函數概念以及華裡司所引入的新名詞在19世紀上半葉的英語世界裡尚未得到廣泛傳播和普遍關注．相應地，兩個概念也就不見于中國晚清的西方數學譯著。直到20世紀初，兩個概念才傳入中國。1938年出版的《算學名詞彙編》和1945年出版的《數學名詞》中都收錄了兩個名詞。