二面角

平面角

以二面角的公共直線上任意一點為端點，在兩個面内分别作垂直于公共直線的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小可用平面角表示。

兩個平面垂直的定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。

大小範圍

0≤θ≤π（二面角不小于0°，不大于180°）

既然是空間立體圖形，那麼可以将180°～360°的另一邊看成0°～180°。

平面角做法

作二面角的平面角的常用方法有六種：

1.定義法 ：在棱上取一點A，然後在兩個平面内分别作過棱上A點的垂線。有時也可以在兩個平面内分别作棱的垂線，再過其中的一個垂足作另一條垂線的平行線。

2.垂面法 ：作與棱垂直的平面，則垂面與二面角兩個面的交線所成的角就是二面角的平面角。

3.射影定理：二面角的餘弦值等于某一個半平面在另一個半平面的射影的面積和該平面自己本身的面積的比值。

4.三垂線定理及其逆定理法：先找到一個平面的垂線，再過垂足作棱的垂線，連結兩個垂足即得二面角的平面角。

5.向量法：分别作出兩個半平面的法向量，由向量夾角公式求得。二面角就是該夾角或其補角。

6.轉化法：在二面角α-l-β其中一個半平面α上找一點P，求出P到β的距離h和P到l的距離d，那麼arcsin(h/d)（二面角為銳角）或π-arcsin(h/d)（二面角為鈍角）就是二面角的大小。

其中，（1）、（2）點主要是根據定義來找二面角的平面角，再利用三角形的正、餘弦定理解三角形。

二面角一般都是在兩個平面的相交線上，取恰當的點，經常是端點和中點。過這個點分别在兩平面做相交線的垂線，然後把兩條垂線放到一個三角形中考慮。有時也經常做兩條垂線的平行線，使他們在一個更理想的三角形中。

由公式S射影=S斜面cosθ，作出二面角的平面角直接求出。運用這一方法的關鍵是從圖中找出斜面多邊形和它在有關平面上的射影，而且它們的面積容易求得。

也可以用解析幾何的辦法，把兩平面的法向量n1,n2的坐标求出來。然後根據n1·n2=|n1||n2|cosα，θ=α為兩平面的夾角。這裡需要注意的是如果兩個法向量都是垂直平面，指向兩平面内，所求兩平面的夾角θ=π-α

求法

幾何法

（1）作出二面角的平面角：

A：利用等腰(含等邊)三角形底邊的中點作平面角；

B：利用面的垂線（三垂線定理或其逆定理）作平面角；

C：利用與棱垂直的直線，通過作棱的垂面作平面角；

D：利用無棱二面角的兩條平行線作平面角。

（2）證明該角為平面角；

（3）歸納到三角形求角。

向量法

利用空間向量：（設二面角平面角為A）

（1）先建立直角坐标系，求出各點坐标；

（2）設面S1的法向量為N(X1，Y1，Z1)，面S2法向量為M(X2，Y2，Z2)；

（3）在S1内找兩條線L1，L2，讓N×L1=0，N×L2=0求出N的坐标，M也是如此求出；

（4）然後利用cosA=N×M/|N|×|M|即可求出A的值（注：由圖觀察二面角是銳角還是鈍角，而且看求出的cosA是正值還是負值。若二面角是銳角，則cosA的值應為正，反之則然。）

與平面角

二面角的大小就用它的“平面角”來度量。二面角的平面角大小數值就等于二面角的大小。