簡介
函數y=a^x(a>0,a≠1)的反函數y=loga(x)(a>0,a≠1)叫做對數函數．
（1）對數函數的定義域為大于0的實數集合。
（2）對數函數的值域為全部實數集合。
（3）函數總是通過（1，0）這點。
（4）a大于1時，為單調遞增函數，并且上凸；a小于1大于0時，函數為單調遞減函數，并且下凹。
（5）顯然對數函數無界。
曆史
16世紀末至17世紀初的時候，當時在自然科學領域（特别是天文學）的發展上經常遇到大量精密而又龐大的數值計算，於是數學家們為了尋求化簡的計算方法而發明了對數。
德國的史提非（1487-1567）在1544年所著的《整數算術》中，寫出了兩個數列，左邊是等比數列（叫原數），右邊是一個等差數列（叫原數的代表，或稱指數，德文是Exponent，有代表之意）。
欲求左邊任兩數的積（商），隻要先求出其代表（指數）的和（差），然後再把這個和（差）對向左邊的一個原數，則此原數即為所求之積（商），可惜史提非并未作進一步探索，沒有引入對數的概念。
納皮爾對數值計算頗有研究。他所制造的「納皮爾算籌」，化簡了乘除法運算，其原理就是用加減來代替乘除法。他發明對數的動機是為尋求球面三角計算的簡便方法，他依據一種非常獨等的與質點運動有關的設想構造出所謂對數方法，其核心思想表現為算術數列與幾何數列之間的聯系。在他的《奇妙的對數表的描述》中闡明了對數原理，後人稱為納皮爾對數，記為Nap．㏒x，它與自然對數的關系為
Nap．㏒x=107㏑(107/x)
由此可知，納皮爾對數既不是自然對數，也不是常用對數，與現今的對數有一定的距離。
瑞士的彪奇（1552-1632）也獨立地發現了對數，可能比納皮爾較早，但發表較遲（1620）。
英國的布裡格斯在1624年創造了常用對數。
1619年，倫敦斯彼得所著的《新對數》使對數與自然對數更接近（以e=2.71828...為底）。
對數的發明為當時社會的發展起了重要的影響，正如科學家伽利略（1564-1642）說：「給我時間，空間和對數，我可以創造出一個宇宙」。又如十八世紀數學家拉普拉斯（1749-1827）亦提到：「對數用縮短計算的時間來使天文學家的壽命加倍」。
最早傳入我國的對數著作是《比例與對數》，它是由波蘭的穆尼斯（1611-1656）和我國的薛鳳祚在17世紀中葉合編而成的。當時在lg2=0.3010中，2叫「真數」，0.3010叫做「假數」，真數與假數對列成表，故稱對數表。後來改用「假數」為「對數」。
我國清代的數學家戴煦（1805-1860）發展了多種的求對數的捷法，著有《對數簡法》（1845）、《續對數簡法》（1846）等。1854年，英國的數學家艾約瑟（1825-1905）看到這些著作後，大為歎服。
當今中學數學教科書是先講「指數」，後以反函數形式引出「對數」的概念。但在曆史上，恰恰相反，對數概念不是來自指數，因為當時尚無分指數及無理指數的明确概念。布裡格斯曾向納皮爾提出用幂指數表示對數的建議。1742年，J．威廉（1675-1749）在給G．威廉的《對數表》所寫的前言中作出指數可定義對數。而歐拉在他的名著《無窮小分析尋論》（1748）中明确提出對數函數是指數函數的逆函數，和現在教科書中的提法一緻。
概念與知識點
定義
在實數域中，真數式子沒根号那就隻要求真數式大于零，如果有根号，要求真數大于零還要保證根号裡的式子大于等于零(若為負數，則值為虛數)，底數則要大于0且不為1。
對數函數的底數為什麼要大于0且不為1?【在一個普通對數式裡a<0,或=1的時候是會有相應b的值。但是，根據對數定義log以a為底a的對數;如果a=1或=0那麼log以a為底a的對數就可以等于一切實數(比如log11也可以等于2，3，4，5，等等)】
通常我們将以10為底的對數叫常用對數(common logarithm),并把log10N記為lgN。另外，在科學技術中常使用以無理數e=2.71828···為底數的對數，以e為底的對數稱為自然對數(natural logarithm)，并且把logeN記為InN。根據對數的定義，可以得到對數與指數間的關系：
當a>0，a≠1時，aX=N→X=logaN。(N>0)
由指數函數與對數函數的這個關系，可以得到關于對數的如下結論：
在實數範圍内，負數和零沒有對數
logaa=1
log以a為底a的對數為1(a為常數)恒過點(1，0)
性質
定義域求解：對數函數y=logax的定義域是{x丨x>0}，但如果遇到對數型複合函數的定義域的求解，除了要注意大于0以外，還應注意底數大于0且不等于1，如求函數y=logx(2x-1)的定義域，需同時滿足x>0且x≠1
和2x-1>0，得到x>1/2且x≠1，即其定義域為{x丨x>1/2且x≠1}
值域：實數集R，顯然對數函數無界。
定點：函數圖像恒過定點(1，0)。
單調性：a>1時，在定義域上為單調增函數;
0
奇偶性：非奇非偶函數
周期性：不是周期函數
對稱性：無
最值：無
零點：x=1
注意：負數和0沒有對數。
兩句經典話：底真同對數正,底真異對數負。解釋如下：
也就是說：若y=logab(其中a>0,a≠1，b>0)
當
當a>1,b>1時，y=logab>0;
當0
當a>1,0
指數函數的求導:
e的定義：e=lim(x→∞)(1+1/x)x=2.718281828...
設a>0a!=1----(loga(x))'
=lim(Δx→0)((loga(x+Δx)-loga(x))/Δx)
=lim(Δx→0)(1/x*x/Δx*loga((x+Δx)/x))
=lim(Δx→0)(1/x*loga((1+Δx/x)x/Δx))
=1/x*lim(Δx→0)(loga((1+Δx/x)x/Δx))
=1/x*loga(lim(Δx→0)(1+Δx/x)x/Δx)
=1/x*loga(e)
特殊地，當a=e時，(loga(x))'=(lnx)'=1/x。
----設y=ax兩邊取對數lny=xlna兩邊對求x導y'/y=lnay'=ylna=a^xlna
特殊地，當a=e時，y'=(ax)'=(ex)'=e^lnex=ex。
運算性質
一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，那麼數b叫做以a為底N的對數，記作logaN=b，其中a叫做對數的底數，N叫做真數。
底數則要>0且≠1真數>0
并且，在比較兩個函數值時：
如果底數一樣，真數越大，函數值越大。(a>1時)
如果底數一樣，真數越小，函數值越大。(0
當a>0且a≠1時，M>0,N>0，那麼：
(1)loga(MN)=logaM+logaN;
(2)loga(M/N)=logaM-logaN;
(3)logaMn=nlogaM(n∈R)
(4)換底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A(b>0且b≠1)
(5)a(log(b)n)=n(log(b)a)證明：
設a=nx則alog(b)n=(nx)log(b)n=n(x*log(b)n)=nlog(b)(n^x)=n(log(b)a)
(6)對數恒等式：alog(a)N=N;log(a)ab=b
(7)由幂的對數的運算性質可得(推導公式)
1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M,log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M
2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M,log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M
3.log(a^n)M^n=log(a)M,log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M
4.log(以n次根号下的a為底)(以n次根号下的M為真數)=log(a)M,
log(以n次根号下的a為底)(以m次根号下的M為真數)=(n/m)log(a)M
5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1
表達方式
(1)常用對數：lg(b)=log10b(10為底數)
(2)自然對數:ln(b)=logeb(e為底數)
e為無限不循環小數，通常情況下隻取e=2.71828對數函數的定義
與指數的關系
同底的對數函數與指數函數互為反函數。
當a>0且a≠1時，ax=N，x=㏒(a)N。
關于y=x對稱。
對數函數的一般形式為y=㏒(a)x，它實際上就是指數函數的反函數(圖象關于直線y=x對稱的兩函數互為反函數），可表示為x=ay。因此指數函數裡對于a的規定（a>0且a≠1），右圖給出對于不同大小a所表示的函數圖形：關于X軸對稱、
可以看到，對數函數的圖形隻不過是指數函數的圖形的關于直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數。
