簡介
微積分是現代數學的重要基礎與起點，它不僅在物理、力學、化學、生物等自然科學領域中已有非常廣泛的應用。微積分學起源于資本主義工業革命，工業的發展要求精确刻畫各種運動——機械運動、天體運動、流體與氣體運動等等的規律性，為此作為研究變量的數學——微積分學誕生了，十七世紀牛頓、萊不尼茲建立了微積分學，又經過一個半多世紀才形成現在應用的微積分學的體系。經濟學與現代數學關系密切，據統計自1969年起建立的諾貝爾經濟學獎的得主有半數以上得益于有效的應用現代數學，因此作為現代數學基礎的微積分學也是經濟學專業一門重要基礎課。作為研究變量數學的微積分學不同于以研究常量為主的初等數學，在學習方法上要注意它的特點。
發展史
極限和微積分的概念可以追溯到古代。到了十七世紀後半葉，牛頓和萊布尼茨分别獨立地建立了微積分學。他們建立微積分的出發點是直觀的無窮小量，理論基礎是不牢固的。直到十九世紀，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論，康托爾、戴徳金等建立了嚴格的實數理論，這門學科才得以嚴密化。
微積分是與實際應用聯系着發展起來的，它在天文學、力學、化學、生物學、工程學、經濟學等自然科學、社會科學及應用科學各個分支中，有越來越廣泛的應用。特别是計算機的發明更有助于這些應用的不斷發展。
從微積分成為一門學科來說，是在十七世紀，但是，微分和積分的思想在古代就已經産生了。
公元前三世紀，古希臘的阿基米德在研究解決抛物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉雙曲體的體積的問題中，采用了窮竭法，就隐含着近代積分學的思想。而就作為微分學基礎的極限理論來說，早在古代就有比較清楚的論述。比如我國的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇”中，記有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。（注：在這并非莊子的觀點，而是莊子的論敵公孫龍等的觀點。）
三國時期的劉徽在他的割圓術中提到“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣。”這些都是樸素的、也是很典型的極限概念。另外，微積分的現代基礎——實數理論，最早也是奠基于古希臘。古希臘的畢達哥拉斯學派提出了“萬物皆數”的思想，他所指的數實際上是整數和整數之比（分數），但他的弟子卻發現了邊長為１的正方形的對角線長不能表示為分數，這就導緻了一次深刻的數學危機。這一問題實際上涉及實數的完備性。為了解決這一問題，古希臘最偉大的數學家之一歐多克索斯提出了天才的比例論，使窮間竭法處于非常嚴密的數學邏輯的控制下。但遺憾的是，這種做法使得幾何上的量和算術代數體系中的數分開，這種分法嚴重阻礙了作為分析學的解析體系的發展，直至戴徳金才将這一問題解決。
針對這一段曆史，偉大的英國數學家G.H.哈代說過，歐多克索斯的比例論的精神“令人吃驚地是現代的，并對晚近的哲學有重大的影響。”實際上，歐氏比例論中所傳遞的思想要遠遠超出實數論和微積分的領域。
到了十七世紀，有許多科學問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分産生的因素。歸結起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現的，也就是求即時速度的問題。第二類問題是求曲線的切線的問題。第三類問題是求函數的最大值和最小值問題。第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力。
十七世紀的許多著名的數學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，如法國的費爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦裡士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論。為微積分的創立做出了貢獻。十七世紀下半葉，在前人工作的基礎上，英國大科學家牛頓和德國數學家萊布尼茨分别在自己的國度裡獨自研究和完成了微積分的創立工作，雖然這隻是十分初步的工作。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關的問題聯系在一起，一個是切線問題（微分學的中心問題），一個是求積問題（積分學的中心問題）。
牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發點是直觀的無窮小量，因此這門學科早期也稱為無窮小分析，這正是現在數學中分析學這一大分支名稱的來源。牛頓研究微積分着重于從運動學來考慮，萊布尼茨卻是側重于幾何學來考慮的。牛頓在1671年寫了《流數法和無窮級數》，這本書直到1736年才出版，它在這本書裡指出，變量是由點、線、面的連續運動産生的，否定了以前自己認為的變量是無窮小元素的靜止集合。他把連續變量叫做流動量，把這些流動量的導數叫做流數。牛頓在流數術中所提出的中心問題是：已知連續運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間内經過的路程（積分法）。
德國的萊布尼茨是一個博才多學的學者，1684年，他發表了現在世界上認為是最早的微積分文獻，這篇文章有一個很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也适用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》。就是這樣一片說理也頗含糊的文章，卻有劃時代的意義。他以含有現代的微分符号和基本微分法則。1686年，萊布尼茨發表了第一篇積分學的文獻。他是曆史上最偉大的符号學者之一，他所創設的微積分符号，遠遠優于牛頓的符号，這對微積分的發展有極大的影響。現在我們使用的微積分通用符号就是當時萊布尼茨精心選用的。微積分學的創立，極大地推動了數學的發展，過去很多初等數學束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學的非凡威力。
不幸的事，由于人們在欣賞微積分的宏偉功效之餘，在提出誰是這門學科的創立者的時候，竟然引起了一場悍然大波，造成了歐洲大陸的數學家和英國數學家的長期對立。英國數學在一個時期裡閉關鎖國，囿于民族偏見，過于拘泥在牛頓的“流數術”中停步不前，因而數學發展整整落後了一百年。其實，牛頓和萊布尼茨分别是自己獨立研究，在大體上相近的時間裡先後完成的。比較特殊的是牛頓創立微積分要比萊布尼詞早10年左右，但是整是公開發表微積分這一理論，萊布尼茨卻要比牛頓發表早三年。他們的研究各有長處，也都各有短處。那時候，由于民族偏見多年。
應該指出，這是和曆史上任何一項重大理論的完成都要經曆一段時間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們在無窮和無窮小量這個問題上，其說不一，十分含糊。牛頓的無窮小量，有時候是零，有時候不是零,而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎方面的缺陷，最終導緻了第二次數學危機的産生。
直到19世紀初，法國科學學院的科學家以柯西為首，對微積分的理論進行了認真研究，建立了極限理論，後來又經過德國數學家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化，使極限理論成為了微積分的堅定基礎。才使微積分進一步的發展開來。
任何新興的、具有無量前途的科學成就都吸引着廣大的科學工作者。在微積分的曆史上也閃爍着這樣的一些明星：瑞士的雅科布·貝努利和他的兄弟約翰·貝努利、歐拉、法國的拉格朗日、科西……
歐氏幾何也好，上古和中世紀的代數學也好，都是一種常量數學，微積分才是真正的變量數學，是數學中的大革命。微積分是高等數學的主要分支，不隻是局限在解決力學中的變速問題，它馳騁在近代和現代科學技術園地裡，建立了數不清的豐功偉績。
基本内容
研究函數，從量的方面研究事物運動變化是微積分的基本方法。這種方法叫做數學分析。
本來從廣義上說，數學分析包括微積分、函數論等許多分支學科，但是現在一般已習慣于把數學分析和微積分等同起來，數學分析成了微積分的同義詞，一提數學分析就知道是指微積分。微積分的基本概念和内容包括微分學和積分學。
微分學的主要内容包括：極限理論、導數、微分等。
積分學的主要内容包括：定積分、不定積分等。
微積分是與應用聯系着發展起來的，最初牛頓應用微積分學及微分方程為了從萬有引力定律導出了開普勒行星運動三定律。此後，微積分學極大的推動了數學的發展，同時也極大的推動了天文學、力學、物理學、化學、生物學、工程學、經濟學等自然科學、社會科學及應用科學各個分支中的發展。并在這些學科中有越來越廣泛的應用，特别是計算機的出現更有助于這些應用的不斷發展。
極限與連續
按正整數順序1，2，3，…排列的無窮多個數，稱為數列。數列通常記作或簡記作｛ ｝。數列的每個數稱為數列的項，依次稱為第一項，第二項，…第n項稱為通項或一般項。
若以函數表示數列：全體正整數的集合記作N＋，則數列可表示為y=f(n)，n∈N＋。
設函數f(x)在|x|>a （a>0）時有定義，若當x→∞時，函數f(x)趨于常數A，則稱函數f(x)當x趨于無窮大時以A為極限。
中值定理
函數與其導數是兩個不同的的函數；而導數隻是反映函數在一點的局部特征；如果要了解函數在其定義域上的整體性态，就需要在導數及函數間建立起聯系，微分中值定理就是這種作用。微分中值定理，包括羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。是溝通導數值與函數值之間的橋梁，是利用導數的局部性質推斷函數的整體性質的工具。以羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是一整個微分學的理論基礎。拉格朗日中值定理，建立了函數值與導數值之間的定量聯系，因而可用中值定理通過導數去研究函數的性态；中值定理的主要作用在于理論分析和證明；同時由柯西中值定理還可導出一個求極限的洛必達法則。中值定理的應用主要是以中值定理為基礎，應用導數判斷函數上升，下降，取極值，凹形，凸形和拐點等項的重要性态。從而能把握住函數圖象的各種幾何特征。在極值問題上也有重要的實際應用。
不定積分
設F(x)是函數f(x)的一個原函數，我們把函數f(x)的所有原函數F(x) C（C為任意常數）叫做函數f(x)的不定積分，記作，即∫f(x)dx=F(x)+C。
其中∫叫做積分号，f(x)叫做被積函數，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式，C叫做積分常數，求已知函數的不定積分的過程叫做對這個函數進行積分。
由定義可知：求函數f(x)的不定積分，就是要求出f(x)的所有的原函數，由原函數的性質可知，隻要求出函數f(x)的一個原函數，再加上任意的常數C，就得到函數f(x)的不定積分。
無窮級數與多元函數
無窮級數是對一個有次序的無窮個數求和的方法，無窮級數有發散性和收斂性的區别。隻有無窮級數收斂時有一個和；發散的無窮級數沒有和。算術的加法可以對有限個數求和，但無法對無限個數求和，有些數列可以用無窮級數方法求和。包括數項級數、幂級數、Fourier級數。
設D為非空的n元有序數組的集合，如果對于每一個有序數組，按照某一法則 ，都有确定的實數y與之對應，則稱此法則為定義在D上的n元函數。
微分方程與差分方程
含有未知函數yt=f(t)以及yt的差分Dyt， D2yt，…的函數方程，稱為常差分方程（簡稱差分方程）；出現在差分方程中的差分的最高階數，稱為差分方程的階。n階差分方程的一般形式為F(t，yt，Dyt，…，Dnyt)=0，其中F是t，yt, Dyt，…， Dnyt的已知函數，且Dnyt一定要在方程中出現。
含有兩個或兩個以上函數值yt，yt+1，…的函數方程，稱為（常）差分方程，出現在差分方程中未知函數下标的最大差，稱為差分方程的階。n階差分方程的一般形式為F(t，yt，yt+1，…，yt+n)=0，其中F為t，yt，yt+1，…，yt+n的已知函數，且yt和yt+n一定要在差分方程中出現。
常微分方程與偏微分方程的總稱。含自變量、未知函數和它的微商（或偏微商）的方程稱為常（或偏）微分方程。未知函數為一元函數的微分方程，稱為常微分方程。未知函數為多元函，從而出現多元函數的偏導數的方程，稱為偏微分方程。
