由來
三角形數
傳說古希臘畢達哥拉斯（約公元前570-約公元前500年）學派的數學家經常在沙灘上研究數學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數。比如，他們研究過由于這些數可以用如右圖所示的三角形點陣表示，他們就将其稱為三角形數。
正方形數
類似地，被稱為正方形數，因為這些數能夠表示成正方形。
因此，按照一定順序排列的一列數成為數列。
概念
數列的一般形式可以寫成
a1，a2，a3，…，an，…
簡記為｛an｝，項數有限的數列為“有窮數列”（finite sequence），項數無限的數列為“無窮數列”（infinite sequence）。
從第2項起，每一項都大于它的前一項的數列叫做遞增數列；如：1，2，3，4，5，6，7
從第2項起，每一項都小于它的前一項的數列叫做遞減數列；如：8，7，6，5，4，3，2，1
從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列叫做擺動數列；
各項呈周期性變化的數列叫做周期數列（如三角函數）；
各項相等的數列叫做常數列。如：2，2，2，2，2，2，2，2，2
通項公式：數列的第N項an與項的序數n之間的關系可以用一個公式表示，這個公式就叫做這個數列的通項公式。（注：通項公式不唯一）
遞推公式：如果數列｛an｝的第n項與它前一項或幾項的關系可以用一個式子來表示，那麼這個公式叫做這個數列的遞推公式。
數列中數的總數為數列的項數。特别地，數列可以看成以正整數集N*（或它的有限子集｛1，2，…，n｝）為定義域的函數an=f(n)。
如果可以用一個公式來表示,則它的通項公式是a(n)=f(n)。
表示方法
如果數列｛an｝的第n項與序号n之間的關系可以用一個式子來表示，那麼這個公式叫做這個數列的通項公式。如an=(-1)^(n+1)+1。
數列通項公式的特點：（1）有些數列的通項公式可以有不同形式，即不唯一。（2）有些數列沒有通項公式
如果數列｛an｝的第n項與它前一項或幾項的關系可以用一個式子來表示，那麼這個公式叫做這個數列的遞推公式。如an=2a(n-1)+1(n>1)。
分類
（1）有窮數列和無窮數列：
項數有限的數列為“有窮數列”（finite sequence）；項數無限的數列為“無窮數列”（infinite sequence）。
（2）對于正項數列：（數列的各項都是正數的為正項數列）
1）從第2項起，每一項都大于它的前一項的數列叫做遞增數列；如：1，2，3，4，5，6，7；
2）從第2項起，每一項都小于它的前一項的數列叫做遞減數列；如：8，7，6，5，4，3，2，1；
3）從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列叫做擺動數列（搖擺數列）；
（3）周期數列：各項呈周期性變化的數列叫做周期數列（如三角函數）；
（4）常數數列：各項相等的數列叫做常數數列（如：2，2，2，2，2，2，2，2，2）。
公式
（1）通項公式：數列的第N項an與項的序數n之間的關系可以用一個公式an=f(n)來表示，這個公式就叫做這個數列的通項公式，如。數列通項公式的特點：1）有些數列的通項公式可以有不同形式，即不唯一；2）有些數列沒有通項公式（如：素數由小到大排成一列2，3，5，7，11，...）。
（2）遞推公式：如果數列{an}的第n項與它前一項或幾項的關系可以用一個式子來表示，那麼這個公式叫做這個數列的遞推公式。數列遞推公式特點：1）有些數列的遞推公式可以有不同形式，即不唯一。2）有些數列沒有遞推公式，即有遞推公式不一定有通項公式。
等差數列
定義
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列（arithmetic sequence），這個常數叫做等差數列的公差（common difference），公差通常用字母d表示。
縮寫
等差數列可以縮寫為A.P.（Arithmetic Progression）。
等差中項
由三個數a，A，b組成的等差數列可以堪稱最簡單的等差數列。這時，A叫做a與b的等差中項（arithmetic mean）。
有關系：A＝（a＋b）/2
通項公式
an=a1+(n-1)d
an=Sn-S(n-1)(n≥2)
an=kn+b(k,b為常數)
前n項和
Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2
Sn=(d/2)*n^2+(a1-d/2)n
性質
且任意兩項am，an的關系為：
an=am+(n-m)d
它可以看作等差數列廣義的通項公式。
從等差數列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈{1,2,…,n}
若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有
am+an=ap+aq
S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1
Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差數列，等等。
和＝（首項＋末項）×項數÷2
項數＝（末項-首項）÷公差＋1
首項=2和÷項數-末項
末項=2和÷項數-首項
設a1,a2,a3為等差數列。則a2為等差中項,則2倍的a2等于a1+a3，即2a2=a1+a3。
應用
日常生活中，人們常常用到等差數列如：在給各種産品的尺寸劃分級别
時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數列進行分級。
若為等差數列，且有an=m,am=n.則a(m+n)＝0。
等比數列
定義
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，這個數列就叫做等比數列（geometric sequence）。這個常數叫做等比數列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示。
縮寫
等比數列可以縮寫為G.P.（Geometric Progression）。
等比中項
如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那麼G叫做a與b的等比中項。
有關系：G^2＝ab；G＝±(ab)^(1/2)
注：兩個非零同号的實數的等比中項有兩個，它們互為相反數，所以G^2=ab是a,G,b三數成等比數列的必要不充分條件。
通項公式
an=a1q^(n-1)
an=Sn-S(n-1)(n≥2)
前n項和
當q≠1時，等比數列的前n項和的公式為
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)(q≠1)
當q=1時，等比數列的前n項和的公式為
Sn=na1
性質
任意兩項am，an的關系為an=am·q^(n-m)
（3）從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}
（4）等比中項：aq·ap=ar^2，ar則為ap，aq等比中項。
記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一個各項均為正數的等比數列各項取同底數數後構成一個等差數列；反之，以任一個正數C為底，用一個等差數列的各項做指數構造幂Can，則是等比數列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。
性質：
①若m、n、p、q∈N*，且m＋n=p＋q，則am·an=ap·aq；
②在等比數列中，依次每k項之和仍成等比數列.
“G是a、b的等比中項”“G^2=ab（G≠0）”.
(5)等比數列前n項之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
在等比數列中，首項A1與公比q都不為零.
注意：上述公式中A^n表示A的n次方。
應用
等比數列在生活中也是常常運用的。
如：銀行有一種支付利息的方式---複利。
即把前一期的利息和本金價在一起算作本金，
再計算下一期的利息，也就是人們通常說的利滾利。
按照複利計算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期
如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)。
（1）等比數列的通項公式是：An=A1*q^（n－1）
若通項公式變形為an=a1/q*q^n(n∈N*),當q＞0時，則可把an看作自變量n的函數，點(n,an)是曲線y=a1/q*q^x上的一群孤立的點。
（2）求和公式：Sn=nA1(q=1)
Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
=(a1-a1q^n)/(1-q)
=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n(即A-Aq^n)
(前提：q不等于1)
任意兩項am，an的關系為an=am·q^(n-m)
（3）從等比數列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}
（4）等比中項：aq·ap=ar^2，ar則為ap，aq等比中項。
記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一個各項均為正數的等比數列各項取同底數後構成一個等差數列；反之，以任一個正數C為底，用一個等差數列的各項做指數構造幂Can，則是等比數列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數列與等差數列是“同構”的。
等和數列
定義
“等和數列”：在一個數列中，如果每一項與它的後一項的和都為同一個常數，那麼這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和。
對一個數列，如果其任意的連續k（k≥2）項的和都相等，我們就把此數列叫做等和數列
性質
必定是循環數列
