超乘方

运算法则

“超乘方运算的运算法则是什么？

对于任意两个正整数的超乘方运算，可将被超乘方数和超乘方数分别用加法、乘法、或乘方进行尽可能的优化分解；然后利用二项式定理展开运算，再将所有结果相加、相乘、或相乘方，既得要求的超乘方幂。这就是超乘方运算的运算法则。超乘方”即在一个乘方头上还有一个乘方，如 右图，就是一个超乘方。

一个数的平方是a乘a 叫做a的2次方

而一个数的超乘方是a乘（a乘a）叫做a的3级超乘方 见下文

实际应用

引用 ——文章（比乘法更大的是乘方，比乘方更大的是什么？）

小学时，老师说，由于生活中经常需要把同一个数加很多很多次，因此人们发明了乘法。

很容易想到，比乘方更大一级的运算就是把 b 个“a 次方”重叠起来。不过，这里我们却遇到了一个之前不曾遇到的问题： a ^ a ^ a 究竟应该等于

难道两种不同的计算顺序，得到的结果总是相同的吗？让我们换

哇，这下可就差远了。可以想象，如果把“a 次方”再多迭代几次，从右往左算和从左往右算会差得更多。恐怖的是，当有多重指数时，运算正是按照从右往左算的顺序进行的。试想，若有一种运算专门用来表示 b 个 a 构成的指数塔，这种运算的威力会多大。

1947 年，数学家 Goodstein 发现，不管初始时选取哪个自然数，按照某种预先定义好的规则进行迭代，数列最终将变成 0。但是，数列收敛到 0 的速度极其缓慢，以至于 Goodstein 需要处理一些连乘方也无法表达出来的大数。于是， Goodstein 便正式提出了这种超越乘方的运算。他把 b 个指数 a 迭代的结果记为ba ，也就是把 b 放在 a 的左上角。在国外的一些论坛上，有时也能看见 a^^b 的表示方法，便于在纯文本格式下的传播。不过，当时 Goodstein 并没有用超级幂 (superexponentiation) 一词，而是用的 tetration 一词。这是由前缀“四” (tetra-) 和迭代 (iteration) 一词合成的，意即排在加法、乘法、乘方之后的第四级运算。事实上， tetration 比 superexponentiation 更常用一些。网上甚至有一个tetration 论坛，论坛里活跃着一群热爱 tetration 的数学 geek。

超级幂是一个极为厉害的运算，它的增长速度非常惊人。在很小的数之间进行超级幂运算，就有可能得到一个巨大的天文数字。32 等于

我们能轻松定义出超级幂的概念，但为什么这个东西却如此“小众”呢？当然，超级幂缺乏很多加减乘除和乘方运算具有的性质，这是一个重要的原因；不过，我想应该还有一个最基本的原因吧——超级幂本身没有什么实用价值。重复对折纸张、增长率的叠加、赌博游戏中的翻番，它们都可以用乘方来描述。实际生活中有什么事情正好能用超级幂来描述的吗？我想应该不会有吧。

人类的想象力是无止境的。即使超级幂已经大到无法用言语描述的地步，大家还是会问，再把“a 次超级幂”迭代 b 层（注意运算顺序仍是从最深那一层开始），又会得到什么？是否就得到了第五级的运算呢？或许你马上就意识到了，这样扩展上去是没有尽头的，每一级运算迭代之后都能产生更高一级的运算。虽然此时脑子已经有点乱了，但是数学语言的严格性和理想性告诉我们，利用某种清晰的数学符号和递归法则，我们一定有办法定义出等级越来越高的运算来。

Goodstein 牛就牛在这儿。他定义了 Goodstein 记号 G(n, a, b) ，来表示 a 与 b 之间的第 n 级运算。当

其中边界值为

…

这就形式化地给出了第 n 级运算的意思。

类似的东西不止一次地被提出过。两年前给大家介绍过世界上最大的数，当时就用到了 Knuth 箭头记号。这也是一种表示大数的方法，其思想与 Goodstein 记号几乎完全一样。 Ackermann 函数也是一个神速增长的函数，它的定义也有异曲同工之处。很多外文数学论坛则用 a [n] b 来表示 a 与 b 之间的第 n 级运算，是我比较喜欢的一种符号。

当然，有