发展简史
人们对拉格朗日中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代。古希腊数学家在几何研究中得到如下结论：“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”。这正是拉格朗日定理的特殊情况，古希腊数学家阿基米德正是巧妙地利用这一结论，求出抛物弓形的面积.。
意大利卡瓦列里在《不可分量几何学》(1635年)的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理，其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦。这是几何形式的微分中值定理，被人们称为卡瓦列里定理。该定理是拉格朗日中值定理在几何学中的表达形式。
1797年，法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中首先给出了拉格朗日定理，他给出的定理的最初形式是：“函数
在与之间连续，在与之间有最小值与最大值，则必取与之间的一个值。”拉格朗日给出最初的证明，但证明并不严格，他给的条件比现在的条件要强，他要求函数f(x)在闭区间上具有连续导数，并且他所用的连续也是直观的，而不是抽象的。
十九世纪初，在微积分严格化运动中，柯西给出了拉格朗日中值定理的严格证明，在《无穷小计算教程概论》中，柯西证明了”如果导数在闭区间[a,b]上连续，则必存在一点，使得。 ”柯西又在《微分计算教程》中将拉格朗日中值定理推广为柯西中值定理。
现代形式的拉格朗日中值定理是由法国数学家博（O.Bonnet）给出的，他不是利用导数的连续性，而是利用罗尔定理对拉格朗日中值定理进行了重新证明。
定理定义
设在上可积，若函数在上单调递减，且，则至少存在一点，使得
验证推导
这个定理的推导比较复杂，脌扯到积分上限函数：。以下用 表示从 到 的定积分。
首先需要证明，若函数在 内可积分，则 在此区间内为一连续函数。
证明: 设, 则
因 在上不变号，则由积分第一中值定理知，在 上至少存在一点 , 使得
于是，有
即 , 得证。
定理推广
1、定理的直接应用
例1设在上可积,在上单调递增且非负,在处连续,那么在上存在使
证明：令, ，因为非负且单调递减( )利用公式有
,而，即
2、积分第二中值定理在证明不等式中的应用
例2证明时，
证明:取,由积分中值定理和它的推论可得:
3、积分中值定理在极限中的应用
例3证明极限
证明：由积分中值定理和它的推论可得:令
令可知g(x)在[0,1]上连续,而且不变号。所以存在ξ使得，因此有以下式子
定理意义
积分第二中值定理证明了在一个二元函数表示的曲顶柱体中,必然存在一个介于最高点和最低点的点,过该点可以做一个与底面平行的平面,截曲顶柱体侧面形成的柱体体积和原来的曲顶柱体体积相等。
