名稱介紹
函數的單調性也叫函數的增減性.函數的單調性是對某個區間而言的，它是一個局部概念.
基本方法
先要弄清概念和研究目的,因為函數本身是動态的，所以判斷函數的單調性、奇偶性，還有研究函數切線的斜率、極值等等，都是為了更好地了解函數本身所采用的方法。其次就解題技巧而言，當然是立足于掌握課本上的例題，然後再找些典型例題做做就可以了，這部分知識僅就應付解題而言應該不是很難。最後找些考試試卷題目來解，針對考試會出的題型強化一下.
1.把握好函數單調性的定義。證明函數單調性一般（初學最好用定義）用定義（謹防循環論證），如果函數解析式異常複雜或者具有某種特殊形式，可以采用函數單調性定義的等價形式證明。另外還請注意函數單調性的定義是[充要命題]。
2.熟練掌握基本初等函數的單調性及其單調區間。理解并掌握判斷複合函數單調性的方法：同增異減。
3.高三選修課本有導數及其應用，用導數求函數的單調區間一般是非常簡便的。還應注意函數單調性的應用，例如求極值、比較大小，還有和不等式有關的問題。
一般的，求函數單調性有如下幾個步驟：
1、取值X1,X2屬于{？}，并使X1
2、作差f(x1)-f(x2)
3、變形
4、定号（判斷f(x1)-f(x2)的正負）
5、下結論
判斷複合函數的單調性
1.導數
2.構造基本初等函數（已知單調性的函數）
3.複合函數 根據同增異減口訣，先判斷内層函數的單調性，再判斷外層函數單調性，在同一定義域上，若兩函數單調性相同，則此複合函數在此定義域上為增函數，反之則為減函數。
4.定義法
5.數形結合
複合函數的單調性一般是看函數包含的兩個函數的單調性（1）如果兩個都是增的,那麼函數就是增函數（2）一個是減一個是增,那就是減函數（3）兩個都是減,那就是增函數
複合函數求導公式
F'(g(x))=[F(g(x+dx))-F(g(x))]/dx......(1)g(x+dx)-g(x)=g'(x)*dx=dg(x)........(2)g(x+dx)=g(x)+dg(x).........(3)F'(g(x))=[F(g(x)+dg(x))-F(g(x))]/dx=[F(g(x)+dg(x))-F(g(x))]/dg(x)*dg(x)/dx=F'(g)*g'(x)
特征
一般地，設函數f(x)的定義域為I：
如果對于屬于I内某個區間上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1＜x2時都有f(x1)＜f(x2)。那麼就說f(x)在 這個區間上是增函數。相反地，如果對于屬于I内某個區間上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1＜x2時都有f(x1)＞f(x2).那麼就是f(x)在這個區間上是減函數。
基本性質
⒈增函數與減函數
一般地，設函數f(x)的定義域為I：
如果對于屬于I内某個區間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當x1、x2時都有f(x1)< f(x2).那麼就說f(x)在 這個區間上是增函數。
如果對于屬于I内某個區間上的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1
⒉單調性與單調區間
若函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數,則就說函數在這一區間具有(嚴格的)單調性,這一區間叫做函數的單調區間.此時也說函數是這一區間上的單調函數.
在單調區間上,增函數的圖像是上升的,減函數的圖像是下降的。
規律
若函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，則就說函數在這一區間具有（嚴格的）單調性，這一區間叫做函數的單調區間。此時也說函數是這一區間上的單調函數。在單調區間上，增函數的圖像是上升的，減函數的圖像是下降的。
注：在單調性中有如下性質。
圖例：↑（增函數）↓（減函數）
↑+↑=↑ 兩個增函數之和仍為增函數
↑-↓=↑ 增函數減去減函數為增函數
↓+↓=↓ 兩個減函數之和仍為減函數
↓-↑=↓ 減函數減去增函數為減函數
複合函數
在函數y=f[g(x)]的定義域内，令u=g(x)，則y=f[g(x)]的單調性由u=g(x)與y=f(u)的單調性共同确定，方法如下
u=g(x) y=f(u) y=f[g(x)]
增函數 增函數 增函數
減函數 減函數 增函數
增函數 減函數 減函數
減函數 增函數 減函數
因此，複合函數的單調性可用“同增異減”來判定，但要考慮某些特殊函數的定義域。
注：y=f(x)+g(x)不屬于複合函數，因此不在此方法的适用範圍内。
例題解析
判斷函數的單調性y=1/(x^2-2x-3)。
設x^2-2x-3=t，令x^2-2x-3=0，
解得：x=3或x=-1，
當x>3和x<-1時，t>0，
當-1
所以得到x^2-2x-1對稱軸是1。
根據反比例函數性質：
在整個定義域上是1/t是減函數。
當t>0時，x>3時，
t是增函數，1/t是減函數，
所以（3，+∞）是減區間，
而x<-1時，t是減函數，
所以1/t是增函數。
因此（-∞，-1）是增區間，
當x<0時，-1
所以1/t是增函數，因此（-1，1）是增區間，
而1
因此（1，3）是減區間，
得到增區間是（-∞，-1）和（-1，1），（1，3）和（3，+∞）是減區間。
