曆史發展
已知最早的使用數學歸納法的證明出現于Francesco Maurolico的Arithmeticorum libri duo（1575年）。Maurolico利用遞推關系巧妙的證明出證明了前n個奇數的總和是n^2，由此揭開了數學歸納法之謎。
結構
最簡單和常見的數學歸納法證明方法是證明當n屬于所有正整數時一個表達式成立，這種方法是由下面兩步組成：
遞推的基礎：證明當n=1時表達式成立；
遞推的依據：證明如果當n=m時成立，那麼當n=m+1時同樣成立。
原理
在于第一步證明起始值在表達式中是成立的，然後證明一個值到下一個值的證明過程是有效的。如果這兩步都被證明了，那麼任何一個值的證明都可以被包含在重複不斷進行的過程中。
或許想成多米諾效應更容易理解一些，如果你有一排很長的直立着的多米諾骨牌那麼如果你可以确定：
第一張骨牌将要倒下，隻要某一個骨牌倒了，與之相鄰的下一個骨牌也要倒，那麼你就可以推斷所有的的骨牌都将要倒。
這樣就确定出一種遞推關系，隻要滿足兩個條件就會導緻所有骨牌全都倒下：
（1）第一塊骨牌倒下；
（2）任意兩塊相鄰骨牌，隻要前一塊倒下，後一塊必定倒下；
這樣，無論有多少骨牌，隻要保證（1）（2）成立，就會全都倒下。
推倒方式
第一數學歸納法
一般地，證明一個與自然數n有關的命題P(n)，有如下步驟：
（1）證明當n取第一個值n0時命題成立。n0對于一般數列取值為0或1，但也有特殊情況；
（2）假設當n=k（k≥n0，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立；
綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），命題P(n)都成立。
第二數學歸納法
對于某個與自然數有關的命題P(n)：
（1）驗證n=n0時P(n)成立；
（2）假設n0≤n
綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），命題P(n)都成立。
倒推歸納法（反向歸納法）
（1）驗證對于無窮多個自然數n命題P(n)成立（無窮多個自然數可以是一個無窮數列中的數，如對于算術幾何不等式的證明，可以是2^k，k≥1）；
（2）假設P(k+1)（k≥n0）成立，并在此基礎上，推出P(k)成立；
綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），命題P(n)都成立。
螺旋式歸納法
對兩個與自然數有關的命題P(n)，Q(n)：
（1）驗證n=n0時P(n)成立；
（2）假設P(k)（k>n0）成立，能推出Q(k)成立，假設Q(k)成立，能推出P(k+1)成立；
綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），P(n)，Q(n)都成立。
性質
數學歸納法的原理，通常被規定作為自然數公理（參見皮亞諾公理）。但是在另一些公理的基礎上，它可以用一些邏輯方法證明。比如，由下面的公理可以推出數學歸納法原理：自然數集是良序的。注意到有些其它的公理确實是數學歸納法原理的可選的公理化形式。更确切地說，兩者是等價的。
運用
（1）确定一個表達式在所有自然數範圍内是成立的或者用于确定一個其他的形式在一個無窮序列是成立的。
（2）數理邏輯和計算機科學廣義的形式的觀點指出能被求出值的表達式是等價表達式。
（3）證明數列前n項和與通項公式的成立。
（4）證明和自然數有關的不等式。
變體
在應用，數學歸納法常常需要采取一些變化來适應實際的需求。下面介紹一些常見的數學歸納法變體。
從0以外的數字開始
如果我們想證明的命題并不是針對全部自然數，而隻是針對所有大于等于某個數字b的自然數，那麼證明的步驟需要做如下修改：
第一步，證明當n=b時命題成立。第二步，證明如果n=m(m≥b）成立，那麼可以推導出n=m+1也成立。用這個方法可以證明諸如“當n≥3時，n^2>2n”這一類命題。
針對偶數或奇數
如果我們想證明的命題并不是針對全部自然數，而隻是針對所有奇數或偶數，那麼證明的步驟需要做如下修改：
奇數方面：第一步，證明當n=1時命題成立。第二步，證明如果n=m成立，那麼可以推導出n=m+2也成立。
偶數方面：第一步，證明當n=0或2時命題成立。第二步，證明如果n=m成立，那麼可以推導出n=m+2也成立。
遞降歸納法
數學歸納法并不是隻能應用于形如“對任意的n”這樣的命題。對于形如“對任意的n=0,1,2,...,m”這樣的命題，如果對一般的n比較複雜，而n=m比較容易驗證，并且我們可以實現從k到k-1的遞推，k=1,...,m的話，我們就能應用歸納法得到對于任意的n=0,1,2,...,m，原命題均成立。如果命題P(n）在n=1,2,3,......,t時成立，并且對于任意自然數k，由P(k),P(k+1）,P(k+2）,......,P(k+t-1）成立，其中t是一個常量，那麼P(n）對于一切自然數都成立.
跳躍歸納法
設P(n)表示一個與自然數n有關的命題，若(1)P(1)，P(2),…,P(l)成立;(2)假設P(k)成立，可以推出P(k+l)成立,則P(n)對一切自然數n都成立.
合理性
數學歸納法的原理，通常被規定作為自然數公理（參見皮亞諾公理）。但是在另一些公理的基礎上，它可以用一些邏輯方法證明。數學歸納法原理可以由下面的良序性質（最小自然數原理）公理可以推出：
自然數集是良序的。（每個非空的正整數集合都有一個最小的元素）
比如{1,2,3,4,5}這個正整數集合中有最小的數——1
下面我們将通過這個性質來證明數學歸納法：
對于一個已經完成上述兩步證明的數學命題，我們假設它并不是對于所有的正整數都成立。對于那些不成立的數所構成的集合S，其中必定有一個最小的元素k。（1是不屬于集合S的，所以k>1）k已經是集合S中的最小元素了，所以k-1是不屬于S，這意味着k-1對于命題而言是成立的——既然對于k-1成立，那麼也對k也應該成立，這與我們完成的第二步驟矛盾。所以這個完成兩個步驟的命題能夠對所有n都成立。注意到有些其它的公理确實是數學歸納法原理的可選的公理化形式。更确切地說，兩者是等價的。
曆史
已知最早的使用數學歸納法的證明出現于Francesco Maurolico的Arithmeticorum libri duo（1575年）。Maurolico利用遞推關系巧妙地證明出前n個奇數的總和是n^2，由此總結出了數學歸納法。
最簡單和常見的數學歸納法證明方法是證明當n屬于所有正整數時一個表達式成立，這種方法是由下面兩步組成：
遞推的基礎：證明當n=1時表達式成立。
遞推的依據：證明如果當n=m時成立，那麼當n=m+1時同樣成立。
這種方法的原理在于第一步證明起始值在表達式中是成立的，然後證明一個值到下一個值的證明過程是有效的。如果這兩步都被證明了，那麼任何一個值的證明都可以被包含在重複不斷進行的過程中。
或許想成多米諾效應更容易理解一些，如果你有一排很長的直立着的多米諾骨牌那麼如果你可以确定：
第一張骨牌将要倒下，隻要某一個骨牌倒了，與之相鄰的下一個骨牌也要倒，那麼你就可以推斷所有的的骨牌都将要倒。
這樣就确定出一種遞推關系，隻要滿足兩個條件就會導緻所有骨牌全都倒下：
（1）第一塊骨牌倒下；
（2）任意兩塊相鄰骨牌，隻要前一塊倒下，後一塊必定倒下;
這樣，無論有多少骨牌，隻要保證（1）（2）成立，就會全都倒下。
