二項式定理:代數恒等式-中文百科頻道

發展簡史

二項式定理最初用于開高次方。在中國，成書于1世紀的《九章算術》提出了世界上最早的多位正整數開平方、開立方的一般程序。11世紀中葉，賈憲在其《釋鎖算書》中給出了“開方作法本原圖”（如圖1），滿足了三次以上開方的需要。此圖即為直到六次幂的二項式系數表，但是，賈憲并未給出二項式系數的一般公式，因而未能建立一般正整數次幂的二項式定理。13世紀，楊輝在其《詳解九章算法》中引用了此圖，并注明了此圖出自賈憲的《釋鎖算書》。賈憲的著作已經失傳，而楊輝的著作流傳至今，所以今稱此圖為“賈憲三角”或“楊輝三角”。14世紀初，朱世傑在其《四元玉鑒》中複載此圖，并增加了兩層，添上了兩組平行的斜線（如圖2）。

在阿拉伯，10世紀，阿爾 ·卡拉吉已經知道二項式系數表的構造方法：每一列中的任一數等于上一列中同一行的數加上該數上面一數。11~12世紀奧馬海牙姆将印度人的開平方、開立方運算推廣到任意高次，因而研究了高次二項展開式。13世紀納綏爾丁在其《算闆與沙盤算法集成》中給出了高次開方的近似公式，并用到了二項式系數表。15世紀，阿爾 ·卡西在其《算術之鑰》中介紹了任意高次開方法，并給出了直到九次幂的二項式系數表，還給出了二項式系數表的兩術書中給出了一張二項式系數表，其形狀與賈憲三角一樣。16世紀，許多數學家的書中都載有二項式系數表。1654年，法國的帕斯卡最早建立了一般正整數次幂的二項式定理，因此算術三角形在西方至今仍以他的名字命名。1665年，英國的牛頓将二項式定理推廣到有理指數的情形。18世紀，瑞士的歐拉和意大利的卡斯蒂隆分别采用待定系數法和“先異後同”的方法證明了實指數情形的二項式定理。

定理定義

根據此定理，可以将x+y的任意次幂展開成和的形式

其中每個為一個稱作二項式系數的特定正整數，其等于。這個公式也稱二項式公式或二項恒等式。使用求和符号，可以把它寫作

二項式的矩陣形式

驗證推導

考慮用數學歸納法。

當時，則

假設二項展開式在時成立。

設，則有：

定理推廣

牛頓廣義二項式定理

二項式定理可以推廣到對任意實數次幂的展開。

其中。

牛頓二項式擴充定理

當x=1時，這就是多項式定理

二項式定理推廣至n為負數

二項式定理的一個常用形式為

(n>0)

考慮到組合數的性質，上式可以改寫為

(n>0)

我們猜想當上式中左邊的指數為負整數時，公式

依然成立，即

(n>0)

上式的正确性可以很容易地加以驗證。同理，二項式定理也可以推廣到非整數指數的情況。

上面的結果與牛頓二項式展開完全一緻。

定理的意義

牛頓以二項式定理作為基石發明出了微積分。其在初等數學中應用主要在于一些粗略的分析和估計以及證明恒等式等。

這個定理在遺傳學中也有其用武之地，具體應用範圍為：推測自交後代群體的基因型和概率、推測自交後代群體的表現型和概率、推測雜交後代群體的表現型分布和概率、通過測交分析雜合體自交後代的性狀表現和概率、推測夫妻所生孩子的性别分布和概率、推測平衡狀态群體的基因或基因型頻率等。

與一元高次方程的關系

對于任意一個n次多項式，我們總可以隻借助最高次項和（n－1）次項，根據二項式定理，湊出完全n次方項，其結果除了完全n次方項，後面既可以有常數項，也可以有一次項、二次項、三次項等，直到（n－2）次項。特别地，對于三次多項式，配立方，其結果除了完全立方項，後面既可以有常數項，也可以有一次項。以最高次項系數為1的三次多項式為例，其配立方的過程如下：

由于二次以上的n次多項式（n＞2，n∈Z），在配n次方之後，并不能總保證在完全n次方項之後僅有常數項。于是，對于二次以上的一元整式方程，我們無法簡單地像一元二次方程那樣，隻需配出關于x的完全平方式，然後将後面僅剩的常數項移到等号另一側，再開平方，就可以推出通用的求根公式。對于求解二次以上的一元整式方程，往往需要大量的巧妙的變換，無論是求解過程，還是求根公式，其複雜程度都要比一次、二次方程高出很多。

詳見：一元三次方程、一元四次方程。