構造
魏爾斯特拉斯的原作中給出的構造是：
其中0<1，b為正的奇數，使得：
這個函數以及它處處連續而又處處不可導的證明首次出現在魏爾斯特拉斯于1872年6月18日在普魯士科學院出版的一篇論文中。
證明這個函數處處連續并不困難。由于無窮級數的每一個函數項的絕對值都小于常數，而正項級數是收斂的。由Weierstrass判别法可以知道原級數一緻收斂。因此，由于每一個函數項都是R上的連續函數，級數和f(x)也是R上的連續函數。
下面證明函數處處不可導：對一個給定的點x∈R，證明的思路是找出趨于x的兩組不同的數列()和()，使得liminf>limsup
這與函數可導的定義矛盾，于是證明完畢。
一般人會直覺上認為連續的函數必然是近乎可導的。即使不可導，所謂不可導的點也必然隻占整體的一小部分。根據魏爾斯特拉斯在他的論文中所描述，早期的許多數學家，包括高斯，都曾經假定連續函數不可導的部分是有限或可數的。這可能是因為直觀上想象一個連續但在不可數個點上不可導的函數是很困難的事。當我們繪制函數的圖像時，總會畫出較為規則的圖形，例如滿足利普希茨條件的函數圖像。
魏爾斯特拉斯函數可以被視為第一個分形函數，盡管這個名詞當時還不存在。将魏爾斯特拉斯函數在任一點放大，所得到的局部圖都和整體圖形相似。因此，無論如何放大，函數圖像都不會顯得更加光滑，也不存在單調的區間。
稠密性
處處不可導函數的稠密性分析
分析學的成果表明，魏爾斯特拉斯函數并不是連續函數中的少數幾個特例之一。盡管它是“病态”函數的一種，但可以證明，這種病态的函數事實上不在“少數”，甚至比那些“規則”的函數“多得多”。
在測度論意義上：在配備了經典維納測度γ的連續函數空間C([0,1];R)中，至少有一處可導的函數所構成的集合的測度是0，也就是說和處處不可導的函數相比是可以“忽略”的。
例題
一、實數域上的狄利克雷（Dirichlet）函數定義為分段函數：nnD(x)=0(x是無理數)nn1(x是有理數)nn1、定義域R,值域{0,1}nn2、奇偶性nn∵x和-x同為有理數或同為無理數nn∴D(-x)=D(x)nn又定義域是Rnn故為偶函數nn3、周期性nn對于無理數Tnn當x為有理數時,x+T是無理數,D(x+T)≠D(x)nn∴無理數不是周期nn對于任意非零有理數T,nn若x是有理數,則x+T也是有理數,D(x+T)=D(x)=1nn若x是無理數,則x+T也是無理數,D(x+T)=D(x)=0nn故周期為任意非零有理數.nn4、連續性nn連續性是高數裡的概念,通俗的說就是函數的每個點是連在一起的.nn例如y=x在R上是連續的,y=1/x在x=0處不連續,但在[1,2]這樣的區間是連續的.nn狄利克雷函數在每一處都是不連續的.nn因此我們無法畫出它的圖像.nn5、可導性
通俗的說,可導就是在某一點是平滑的,例如y=x²圖像上的點,都是可導的nny=|x|在x=0處是不可導的,在其他點是可導的.nn狄利克雷函數處處不可導.n
二、魏爾斯特拉斯函數(Weierstrassfunction)是一類處處連續而處處不可導的實值函數.nn将魏爾斯特拉斯函數在任一點放大,所得到的局部圖都和整體圖形相似.因此,無論如何放大,函數圖像都不會顯得更加光滑,也不存在單調的區間.nn你可以想象一下,函數的每一個點都是像y=|x|在x=0的那個點.
