公式
如果一個非負數x的平方等于a，即那麼這個非負數x叫做a的算術平方根。a的算術平方根記為，讀作“根号a”，a叫做被開方數（radicand）。求一個非負數a的平方根的運算叫做開平方。
結論：被開方數越大，對應的算術平方根也越大（對所有正數都成立）。
一個正數如果有平方根，那麼必定有兩個，它們互為相反數。顯然，如果知道了這兩個平方根的一個，那麼就可以及時的根據相反數的概念得到它的另一個平方根。
負數在實數系内不能開平方。隻有在複數系内，負數才可以開平方。負數的平方根為一對共轭純虛數。例如：-1的平方根為±i，-9的平方根為±3i，其中i為虛數單位。規定:或一般地，“√￣”僅用來表示算術平方根，即非負數的非負平方根。
規定：0的算術平方根為0。
運算
描述
像加減乘除一樣，求平方根也有自己的豎式算法。以計算
過程1
因為每次補數需要補兩位，所以被開方數不隻一個數位時，要保證補數不能夾着小數點。例如三位數，必須單獨用百位進行運算，補數時補上十位和個位的數。
過程2
每一個過渡數都是由上一個過渡數變化而後，上一個過渡數的個位數乘以20，如果需要進位，則往前面進1，然後個位升十位。以此類推，而個位上補上新的運算數字。簡單地講，過渡數27，是第一次商的1乘以20，把個位上的0用第二次商的7來換，過渡數343是前兩次商的17乘以20=340，其中個位0用第三次商的3來換，第三個過渡數3462是前三次商173乘以20=3460，把個位0用第四次的商2來換，依次類推。
過程3
誤差值的作用。如果要求精确到更高的小數數位，可以按規則，對誤差值繼續進行運算。
例子
計算√10
3.16227--------
-----------------------------
√10’00’00’00’00’--------
3|93第1位3
-------
61|1002*3*10+1=61第2位1
|61
-------
626|39002*31*10+6=626第3位6
|3756
--------
6322|144002*316*10+2=6322第4位2
|12644
---------
63242|175600
|126484
-----------
632447|4911600
|4427129
---------
××××××00（如此循環下去）
所以，√10=3.16227…
再如√7
=2.645…
---------------------
2|7
4
--------------
46|300
276
--------------------
524|2400
2096
-----------------------------
5285|30400
26425
-------------------------------
5290？|397500
牛頓叠代法
上述筆算開方方法是我們大多數人上學時課本附錄給出的方法，實際中運算中太麻煩了。我們可以采取下面辦法：
比如136161這個數字，首先我們找到一個和136161的平方根比較接近的數，任選一個，比方說300到400間的任何一個數，這裡選350，作為代表。
我們先計算0.5(350+136161/350)，結果為369.5。
然後我們再計算0.5(369.5+136161/369.5)得到369.0003，我們發現369.5和369.0003相差無幾，并且369²末尾數字為1。我們有理由斷定369²=136161。
一般來說，能夠開方開的盡的，用上述方法算一兩次基本結果就出來了。再舉個例子：計算。首先我們發現600²<469225<700²，我們可以挑選650作為第一次計算的數。即算0.5(650+469225/650)得到685.9。而685附近隻有685²末尾數字是5，因此685²=469225。從而。
對于那些開方開不盡的數，用這種方法算兩三次精度就很可觀了，一般達到小數點後好幾位。
實際中這種算法也是計算機用于開方的算法。
用Ruby求平方根
（注：sqrt=squareroot平方根）
moduleMyMath
defsqrt(num,rx=1,e=1e-10)#參數1，需要求平方根的目标；參數2，叠代區間；參數3，精度
num*=1.0#目标初始化
(num-rx*rx).abs
end
6end
includeMyMath
putssqrt(2)#求2的平方根
putssqrt(2,5,0.01)#求2的平方根+叠代區間與精度。
C語言版求平方根
doubleSqrt(doublea,doublep)//a是被開平方根數，p是所求精度
{
doublex=1.0;doublecheak;
do
{
x=(a/x+x)/2.0;
cheak=x*x-a;
}while((cheak>=0?cheak:-cheak)>p);
returnx;
}
intmain()
{
printf("%.4fn",Sqrt(2.0,0.0001));
printf("%.4fn",Sqrt(0.09,0.0001));
return0;
}
輸出結果：
1.4142
0.3000
知識教案
算術平方根定義：
如果一個非負數x的平方等于a，那麼這個非負數x叫做a的算術平方根，記作。其中，a叫做被開方數。例如：因為2和-2的平方都是4，且隻有2是正數，所以2就是4的算術平方根。
由于正數的平方根互為相反數，因此正數的平方根可分别記作和，可合寫為。例如5的平方根可以分别記作和，可合寫為。
0的平方根僅有一個，就是0本身。而0本身也是非負數，因此0也是0的算術平方根。可記作。
注意：算術平方根隻有一個！
教學重點與難點分析
1.本節重點是平方根和算術平方根的概念。平方根是開方運算的基礎，是引入無理數的準備知識。平方根概念的正确理解有助于符号表示的理解，是正确求平方根運算的前提，并且直接影響到二次根式的學習。算術根的教學不但是本章教學的重點，也是今後數學學習的重點。在後面學習的根式運算中，歸根結底是算術根的運算，非算術根也要轉化為算術根。
2.本節難點是平方根與算術平方根的區别與聯系。首先這兩個概念容易混淆，而且各自的符号表示意義學生不是很容易區分，教學中要抓住算術平方根式平方根中正的那個，講清各自符号的意義，區分兩種表示的不同。
3.本節主要内容是平方根和算術平方根，注意數字要簡單，關鍵讓學生理解概念。另外在文字叙述時注意語言的嚴謹規範。
求平方根教學重點難點
1.教學重點是用計算器求一個正數的平方根的程序，無論實際生活，還是其他學科都會經常用到計算器求一個數的平方根，這也是學生的基本技能之一。
2.教學難點準确用計算器求一個正數的平方根，由于開平方運算要用到第二功能鍵，學生容易漏掉此步操作，在教學過程中要着重說明此鍵的作用功能教法建議。
3.在給學生講解如何利用計算器求一個數的平方根時，應掌握方法。
