發展簡史
蝴蝶定理的英文是Butterfly Theorem，蝴蝶定理是古典歐式平面幾何最傑出的結果之一。而“蝴蝶定理”這個名稱最早出現在《美國數學月刊》1994年2月号，題目的圖形就像一隻蝴蝶.蝴蝶定理作為一道著名的平面幾何問題,有人贊譽它為歐式幾何園地裡的“一顆生機勃勃的常青樹”。蝴蝶定理最先作為一個征求證明的問題，刊載于1815年的一份通俗雜志《男士日記》，中同時刊登了蝴蝶定理的兩個證明方法.其中一個是英國著名的自學成才的數學家霍納的解法.霍納受過中等教育,18歲時擔任其母校校長.關于這個定理的證法多的不勝枚舉,至今仍被數學熱愛者研究。
定理定義
幾何學史中一個有名的定理.過一圓的弦的中點引任意兩條弦和,連結和,交弦于,則.
驗證推導
霍納證法
過作 ，垂足為 ，
連接
可知 (同弧所對的圓周角相等)
根據垂徑定理得:
又
即
是的中點所以(垂徑定理逆定理)
四點共圓（對角互補的四邊形共圓 ) ，
同理， 四點共圓
(同弧所對的圓周角相等)
(同弧所對的圓周角相等)
在 和
帕斯卡證法
連接并延長分别交圓于連接交于 連接、 由帕斯卡定理得:共線 為 中點
又 為 直徑
又
共圓， 共圓
又
又
定理推廣
該定理實際上是射影幾何中一個定理的特殊情況，有多種推廣：
蝴蝶定理的圓外形式：
如圖，延長圓中兩條弦交于一點，過做垂線，垂線與的延長線交于，則可得出（證明方法可參考蝴蝶定理的證法2、3、4）
1.在圓錐曲線中
通過射影幾何，我們可以非常容易的将蝴蝶定理推廣到普通的任意圓錐曲線（包括橢圓，雙曲線，抛物線，甚至退化到兩條相交直線的情況）。
圓錐曲線上弦的中點為，過點任作兩弦，弦分别交于，則為之中點。
而通過投影變換可以非常容易證明這個定理。
射影幾何裡面關于投影變換有一個重要結論，對于平面上任意兩個圓錐曲線任意指定内部一個點和上面一個點,另外任意指定内部一個點和上面一個點,存在唯一一個投影變換将曲線變換到而且變換到,變換到.
由此對于本題，我們可以通過投影變換将變換成一個圓，而将弦的中點變換成這個圓的圓心。
在此變換以後，弦都是圓的直徑而且四邊形是圓内接矩形，也是一條直徑，由對稱性顯然得出投影變換後為的中點。又因為變換前後都是線段的中點，我們可以得出在直線上這個變換是仿射變換，所以變換前也是的中點。
定理意義
蝴蝶定理是古典歐式平面幾何的最精彩的結果之一。這個定理的證法不勝枚舉，至今仍然被數學熱愛者研究，在考試中時有出現各種變形。
