定理提出
一般幾何教科書中的“托勒密定理”，實出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密隻是從他的書中摘出。
摘出并完善後的托勒密(Ptolemy)定理指出，圓的内接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。
定理表述：圓的内接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于 一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。
從這個定理可以推出正弦、餘弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質上是關于共圓性的基本性質．
定義
指圓内接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。
證明
1、（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。）
在任意凸四邊形 中(如圖1)，
作 使 ，，
連接 ，則
所以，即
由 ，得 ，
又 ，
所以 ，
所以，即
(1)+(2) , 得
又因為
(僅在四邊形 是某圓的内接四邊形時，等号成立，即“托勒密定理” )
- 複數證明
用分别表示四邊形頂點的複數，則 的長度分别是：、、、、、。
首先注意到複數恒等式： ，兩邊取模，運用三角不等式得。等号成立的條 件是 與 的輻角相等，這與四點共圓等價。四點不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不 等式的反演形式。
2、設是圓内接四邊形。
在弦 上，圓周角 ，
而在上， 。
在上取一點，使得 ；
因為 ，
所以 。
因此 與 相似，同理也有
因此 ，且；
因此，且；
兩式相加得；
但 ，
因此 。
證畢。
3、托勒密定理：圓内接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包矩形的面積)等于兩組對邊乘積之和(一組對邊所包矩形的面 積與另一組對邊所包矩形的面積之和).
已知：圓内接四邊形 ，求證：
證明: 如圖1，過作交于 ，使 ，又 ，
. 得，。
又 ，，
. 得 ，。
(1)+(2)得 . 即
4、廣義托勒密定理：設四邊形 四邊長分别為, 兩條對角線長分别為，則有: 。
定理推廣
推廣
托勒密不等式：凸四邊形的兩組對邊乘積和不小于其對角線的乘積，取等号當且僅當共圓或共線。
簡單的證明：複數恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，兩邊取模，
得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD
推論
1.任意凸四邊形，必有，當且僅當四點共圓時取等号。
2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積，則這個凸四邊形内接于一圓。
運用要點
1.等号成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點共圓等價。
2.四點不限于同一平面。
歐拉定理：在一條線段上AD上，順次标有B、C兩點，則AD·BC+AB·CD=AC·BD
