定理說明
采樣過程所應遵循的規律，又稱取樣定理、抽樣定理。采樣定理說明采樣頻率與信号頻譜之間的關系，是連續信号離散化的基本依據。
在進行模拟/數字信号的轉換過程中，當采樣頻率fs.max大于信号中最高頻率fmax的2倍時(fs.max>2fmax)，采樣之後的數字信号完整地保留了原始信号中的信息，一般實際應用中保證采樣頻率為信号最高頻率的2.56～4倍；采樣定理又稱奈奎斯特定理。
如果對信号的其它約束是已知的，則當不滿足采樣率标準時，完美重建仍然是可能的。 在某些情況下（當不滿足采樣率标準時），利用附加的約束允許近似重建。 這些重建的保真度可以使用Bochner定理來驗證和量化。
曆史回顧
1924年奈奎斯特(Nyquist)推導出在理想低通信道的最高碼元傳輸速率的公式。
1928年美國電信工程師H.奈奎斯特推出采樣定理，因此稱為奈奎斯特采樣定理。
1933年由蘇聯工程師科捷利尼科夫首次用公式嚴格地表述這一定理，因此在蘇聯文獻中稱為科捷利尼科夫采樣定理。
1948年信息論的創始人C.E.香農對這一定理加以明确地說明并正式作為定理引用，因此在許多文獻中又稱為香農采樣定理。采樣定理有許多表述形式，但最基本的表述方式是時域采樣定理和頻域采樣定理。
采樣定理在數字式遙測系統、時分制遙測系統、信息處理、數字通信和采樣控制理論等領域得到廣泛的應用。
定理分類
時域
頻帶為F的連續信号f(t)可用一系列離散的采樣值f(t1),f(t1±Δt)，f(t1±2Δt)，...來表示,隻要這些采樣點的時間間隔Δt≤1/(2F)，便可根據各采樣值完全恢複原來的信号f(t)。 這是時域采樣定理的一種表述方式。
時域采樣定理的另一種表述方式是：當時間信号函數f(t)的最高頻率分量為fM時,f(t)的值可由一系列采樣間隔小于或等于1/(2fM)的采樣值來确定,即采樣點的重複頻率f≥(2fM)。圖為模拟信号和采樣樣本的示意圖。
時域采樣定理是采樣誤差理論、随機變量采樣理論和多變量采樣理論的基礎。
頻域
對于時間上受限制的連續信号f(t)（即當│t│>T時,f(t)=0,這裡T=T2-T1是信号的持續時間），若其頻譜為F（ω）,則可在頻域上用一系列離散的采樣值 來表示,隻要這些采樣點的頻率間隔ω≦π / tm 。
相關公式
理想低通信道的最高碼元傳輸速率B=2W Baud (其中W是帶寬)理想信道的極限信息速率。
多變量信号和圖像的應用
采樣定理通常針對單個變量的函數進行公式化。因此，定理可直接适用于時間相關的信号，并且通常在該上下文中公式化。然而，采樣定理可以以直接的方式擴展到任意多個變量的函數。
灰度圖像通常表示為代表位于行和列采樣位置的交叉處的像素（圖像元素）的相對強度的實數的二維陣列（或矩陣）。因此，圖像需要兩個獨立變量或索引，以指定每個像素唯一一個用于行，一個用于列。
彩色圖像通常由三個單獨的灰度圖像的組合構成，一個代表三原色（紅色，綠色和藍色）或簡稱RGB中的每一個。對于顔色使用3向量的其他顔色空間包括HSV，CIELAB，XYZ等。諸如青色，品紅色，黃色和黑色（CMYK）的一些顔色空間可以通過四維表示顔色。所有這些都被處理為二維采樣域上的向量值函數。
類似于一維離散時間信号，如果采樣分辨率或像素密度不足，圖像也可能遭受混疊。例如，具有高頻率（換句話說，條紋之間的距離小）的條紋襯衫的數碼照片可以在襯衫被照相機的圖像傳感器采樣時導緻襯衫的混淆。對于這種情況，在空間域中采樣的“解決方案”将是更靠近襯衫，使用更高分辨率的傳感器，或者在用傳感器采集圖像之前對圖像進行光學處理。
