乘法公式
什麼叫乘法公式
1.公式的應用不僅可從左到右的順用(多項式乘法),還可以由右向左逆用(因式分解).
要記住一些重要的公式變形及其逆運算——除法等。
基本公式
2.基本公式就是最常用,最基礎的公式,可以由此而推導出其它公式.
完全平方公式:(a±b)^2=a^2±2ab+b^2，
平方差公式:(a+b)(a-b)=a^2-b^2，
立方和(差)公式:(a±b)(a^2+ab+b^2)=a^3±b^3，
完全立方公式：(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2;±b^3，
三數和平方公式：（a+b+c）^2;=a^2;+b^2;+c^2+2ab+2ac+2bc，
歐拉公式：（a+b+c）（a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc）=a^3+b^3+c^3-3abc
公式推廣
公式的推廣
①多項式平方公式:(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd。
即：多項式的平方等于各項的平方和，加上每兩項積的2倍。
②二項式定理:(a±b)^3=a^3±3a^2b+3ab^2±b^3，
(a±b)^4=a^4±4a^3b+6a^2b^2±4ab^3+b^4，
(a±b)^5=a^5±5a^4b+10a^3b^2±10a^2b^3+5ab^4±b^5，
…………
（a+b）
=a^n+Cn1*a^(n-1)*b+CN2*a^(n-2)*b……2+……+Cn(n-1)*a*b^(n-1)+b^n.
注意觀察右邊展開式的項數，指數，系數，符号的規律，見楊輝三角。
③由平方差,立方和(差)公式引申的公式
(a+b)(a^3-a^2b+ab^2-b^3)=a^4-^b^4，
(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b4)=a^5+b^5，
(a+b)(a^5-a^4b+a^3b^2-a^2b^3+ab^4-b^5)=a^6-b^6，
…………
注意觀察左邊第二個因式的項數，指數，系數，符号的規律。
在正整數指數的條件下,可歸納如下：設n為正整數
⑴(a+b)(a2n-1-a2n-2b+a2n-3b2-…+aB2N-2-b2n-1)=a2n-b2n，
⑵(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1，
類似地：
⑶(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)=an-bn。
公式的變形及其逆運算
由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab；(a-b)2=(a+b)2-4ab。
由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)。
由公式的推廣可知：當n為正整數時，an-bn能被a-b整除；
a2n+1+b2n+1能被a+b整除；a2n-b2n能被a+b及a-b整除。
乙例題
例1.己知:x+y=a,xy=b。
63
求:①x2+y2;②x3+y3;③x4+y4;④x5+y5.
解:①x2+y2=(x+y)2-2xy=a2-2b;
②x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)=a3-3ab;
③x4+y4=(x+y)4-4xy(x2+y2)-6x2y2=a4-4a2b+2b2;
④x5+y5=(x+y)(x4-x3y+x2y2-xy3+y4)
=(x+y)[x4+y4-xy(x2+y2)+x2y2]
=a[a4-4a2b+2b2-b(a2-2b)+b2]
=a5-5a3b+5ab2.
例2.求證:四個連續整數的積加上1的和,一定是整數的平方.
證明:設這四個數分别為a,a+1,a+2,a+3.(a為整數)
a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1
=(a2+3a)(a2+3a+2)+1
=(a2+3a)2+2(a2+3a)+1
=(a2+3a+1)2。
∵a是整數,整數的和,差,積,幂也是整數。∴a2+3a+1是整數。
例3.求證:2^222+3^111能被7整除。證明:2^222+3^111=(2×2)^111+3^111=4^111+3^111。
∵a^(2n+1)+b^(2n+1)能被a+b整除,(見内容提要4)
∴4^111+3^111能被4+3整除。
∴2^222+3^111能被7整除。
(擴展)快速判斷一個整數是否可以整除另一個整數
如x=2368，則x1=8，x2=6，x3=3，x4=2
則有如下公式：
x%m=(x1+101%m*x2+102%m*x3+……+10n-1%m*xn)%m
其中%表示求餘數的符号
公式證明
依據餘數的兩個定理
(m+n)%k=(m%k+n%k)%k（結合率）
(m*n)%k=((m%k)*n)%k（交換率）
則x%m
= (x1 + x2*10 + x3*102 +xn*10n-1)%m
= (x1%m+ x2*10%m+ x3*102%m +xn*10n-1%m)%m
= (x1%m+ (10%m*x2)%m + (102%m*x3)%m +(10n-1%m*xn)%m)%m
= (x1 + 10%m*x2+ 102%m*x3 +10n-1%m*xn)%m
所以公式得證
例4.用完全平方公式推導“個位數字為5的兩位數的平方數”的計算規律。
解:∵(10a+5)^2=100a^2+2×10a×5+25=100a(a+1)+25。
∴“個位數字為5的兩位數的平方數”的特點是：
幂的末兩位數字是底數的個位數字5的平方,幂的百位以上的數字是底數的十位上數
字a乘以(a+1)的積。
例如:15^2=225,幂的百位上的數字2=1×2；
25^2=625,6=2×3；
35^2=1225,12=3×4；
……
105^2=11025,110=10×11。
1、平方差公式
由多項式乘法得到(a+b)(a——b)=a²——b².即兩個數的和與這兩個數的差的積等于這兩個數的平方差
2、平方差公式的特征
①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數；
②右邊是乘式中兩項的平方差(相同項的平方減去相反項的平方)；
③公式中的a和b可以是具體數，也可以是單項式或多項式；
④對于形如兩數和與這兩數差相乘的形式，就可以運用上述公式來計算．
3、完全平方公式
由多項式乘法得到（a±b）^2=a^2±2ab+b^2即兩數和(或差)的平方，等于它們的平方和，加(或減)它們的積的2倍.推廣形式：（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
4、完全平方公式的特征
（a+b）^2=a^2+2ab+b^2與(a——b)^2=a^2——2ab+b^2都叫做完全平方公式，為了區别，我們把前者叫做兩數和的完全平方公式，後者叫做兩數差的完全平方公式．
①兩公式的左邊：都是一個二項式的完全平方，二者僅有一個符号不同；右邊：都是二次三項式，其中有兩項是公式左邊兩項中每一項的平方，中間是左邊二項式中兩項乘積的2倍，兩者也僅有一個符号不同．②公式中的a、b可以是數，也可以是單項式或多項式．
③對于形如兩數和(或差)的平方的乘法，都可以運用上述公式計算．
④公式中的字母具有一般性，它可以表示數也可以表示多項式.
5、乘法公式的主要變式
(1)a2——b2=(a+b)(a——b);
(2)(a+b)2——(a——b)2=4ab;
（3）(a+b)2+(a——b)2=2(a2+b2)；
（4）a2+b2=(a+b)2——2ab=(a——b)2+2ab
（5）a3+b3=(a+b)3——3ab(a+b)
（6）a^n-1=(a-1)(a^(n-1)+a^(n-2)+.....+a+1)
熟悉這些變形公式，明确它們間聯系，綜合運用，常可簡化解題過程．
注意：
(1)公式中的a，b既可以表示單項式，也可以表示多項式.
(2)乘法公式既可以單獨使用，也可以同時使用.
(3)這些公式既可以正用，也可以逆用，因此在解題時應靈活地運用公式，以計算簡捷為宜.
計算：
(1)(3a+2b)(2b——3a);(2)(x——2y)(——x——2y);(3)(a+b+c)(a——b——c)分析：
相乘的兩個二項式，隻要它們有一項完全相同，另一項互為相反數，就符合平方差公式.相乘的結果是相同項的平方減去相反項的平方.
第(1)題的相同項是2b，相反項是3a與——3a.
第(2)題可以按第(1)題的方法計算，也可以先改變第二個因式的符号再運算.
第(3)題雖然不能直接運用平方差公式計算，但認真觀察兩個二項式中的相同項和相反項，就不難分組轉化成平方差公式的結構形式.
解：
(1)原式=(2b+3a)(2b——3a)
=(2b)^2——(3a)^2
=4b^2——9a^2
(2)原式=(——2y+x)(——2y——x)
=(——2y)^2——x^2
=4y2——x2
(3)原式=[a+(b+c)][a——(b+c)]
=a^2——(b+c)^2
=a^2——(b^2+2bc+c^2)
=a^2——b^2——2bc——c^2
(1)98×102；(2)99×101×10001.
分析：
将98寫成100——2，102寫成100+2，第(1)題即能用平方差公式計算；同理将99寫成100——1，101寫成100+1，第(2)題也可用平方差公式計算：
解：
(1)98×102=(100——2)(100+2)
=10000——4=9996
(2)99×101×10001=(100——1)(100+1)×10001
=(10000——1)(10000+1)
=100000000——1=99999999
