簡介
含有相同未知數的兩個一次方程（或者一個二元一次方程和一元一次方程）聯立起來，就組成了二元一次方程組。二元一次方程定義：一個含有兩個未知數，并且未知項的指數都是1的整式方程，叫二元一次方程(linearequationoftwounknowns)。二元一次方程組定義：由兩個二元一次方程組成的方程組，叫二元一次方程組(systemoflinearequationoftwounknowns)。二元一次方程的解：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的解。二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個公共解，叫做二元一次方程組的解。一般解法，消元：将方程組中的未知數個數由多化少，逐一解決。
二元一次方程組(y=1x=1)加減法：将方程組中的兩個等式用相加或者是相減的方法，抵消其中一個未知數，從而達到消元的目的，将方程組中的未知數個數由多化少，逐一解決。代入消元法：通過“代入”消去一個未知數，将方程組轉化為一元一次方程來解，這種解法叫做代入消元法，簡稱代入法。重點難點本節重點内容是二元一次方程組的概念以及如何用代入法和加減法解二元一次方程組，難點是根據方程的具體形式選擇合适的解法。
解
使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的一組值，叫做二元一次方程的解。
二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做一組二元一次方程組的解。
求方程組的解的過程，叫做解二元一次方程組。
二元一次方程有無數個解，除非題目中有特殊條件。
但二元一次方程組有解，則有隻且有唯一的一組解，即x，y的值隻有一個。也有特殊的，例如無數個解：
(3X+4Y)=12 (x-y)=2
(6X+8Y)=24 (x+y)=3
無解：
(3X+4Y)=18
(4Y+3X)=24
二元一次方程的整數解就是一個二元一次方程的解是個整數。
解法
1、消元方法
“消元”是解二元一次方程的基本思路。所謂“消元”就是減少未知數的個數，使多元方程最終轉化為一元多次方程再解出未知數。這種将方程組中的未知數個數由多化少，逐一解決的解法，叫做消元解法。
消元方法一般分為：
代入消元法，簡稱：代入法(常用）
加減消元法，簡稱：加減法（常用）
順序消元法，（這種方法不常用）
整體代入法。（不常用）
以下是消元方法的舉例：
{x-y=3 ①
{3x-8y=4②
由①得x=y+3③
③代入②得
3（y+3)-8y=4
解得y=1
所以x=4
則：這個二元一次方程組的解為
{x=4
{y=1
實用方法
{13x+14y=41
{14x+13y=40
27x+27y=81
y-x=1
27y=54
y=2
x=1
y=2
把y=2代入(3)得
即x=1
所以:x=1，y=2
最後 x=1 ， y=2， 解出來
特點:兩方程相加減，單個x或單個y，這樣就适用接下來的代入消元。
2、換元法
是二元一次方程的另一種方法，就是說把一個方程用其他未知數表示，再帶入另一個方程中
如：
x+y=590
y+20=90%x
代入後就是：
x+90%x-20=590
例2：(x+5)+(y-4)=8
(x+5)-(y-4)=4
令x+5=m，y-4=n
原方程可寫為
m+n=8
m-n=4
解得m=6，n=2
所以x+5=6，y-4=2
所以x=1，y=6
特點：兩方程中都含有相同的代數式，如題中的x+5，y-4之類，換元後可簡化方程也是主要原因。
3、參數換元
例3， x:y=1:4
5x+6y=29
令x=t，y=4t
方程2可寫為：5t+24t=29
29t=29
t=1
所以x=1，y=4
此外，還有代入法可做題。
x+y=5
3x+7y=-1
解：x=5-y
3（5-y）+7y=-1
15-3y+7y=-1
4y=-16
y=-4
得：x=9
y=-4
如果關于x，y的二元一次方程組3x-ay=16，的解是x=7你是否可以通過觀察、研究，用簡便方法求出下列關于
2x+by=15 y=1
x，y的方程組的解？
（1）方程組：3(x+y)-a(x-y)=16①
2(x+y)+b(x-y)=15②
(2)方程組：3（x-2y）÷2-a÷3y=16①
(x-2y)+b÷3y=15②
4、加減-代入混合使用的方法
例1，{13x+14y=41 (1)
{14x+13y=40 (2)
解:(2)-(1)得
x-y=-1
即x=y-1 (3)
把(3)代入(1)得
13(y-1)+14y=41
所以13y-13+14y=41
27y=54
y=2
把y=2代入(3)得
即x=1
所以:x=1，y=2
最後 x=1 ， y=2， 解出來
特點:兩方程相加減，單個x或單個y，這樣就适用接下來的代入消元。
相關題型
1、A,B兩地相距500千米，甲、乙兩車由兩地相向而行，若同時出發則5小時相遇；若乙先出發5小時，則甲出發後3小時與乙相遇。求甲乙兩車速度。
解：設甲車速度為X,乙車為Y
5X+5Y=500
5Y+3X+3Y=500
解得X=60,Y=40
答：甲車速度為60km/h，乙車速度為40km/h。
2、兩個物體在周長等于100米的圓上運動，如果同向運動，那麼它們每隔20秒相遇一次；如果相向運動，那麼它們每隔5秒相遇一次。求每個物體的速度。
解：設速度快的為X,慢的為Y
20X=20Y+100
5X+5Y=100
解得X=12.5,Y=7.5
答：速度快的為12.5m/s,速度慢的為7.5m/s。
