簡介
數學模型是針對參照某種事物系統的特征或數量依存關系，采用數學語言，概括地或近似地表述出的一種數學結構，這種數學結構是借助于數學符号刻畫出來的某種系統的純關系結構。從廣義理解，數學模型包括數學中的各種概念，各種公式和各種理論。因為它們都是由現實世界的原型抽象出來的，從這意義上講，整個數學也可以說是一門關于數學模型的科學。從狹義理解，數學模型隻指那些反映了特定問題或特定的具體事物系統的數學關系結構，這個意義上也可理解為聯系一個系統中各變量間内的關系的數學表達。
分類
按模型的應用領域分類
生物數學模型
醫學數學模型
地質數學模型
數量經濟學模型
數學社會學模型
按是否考慮随機因素分類
确定性模型
随機性模型
按是否考慮模型的變化分類
靜态模型
動态模型
按應用離散方法或連續方法分類
離散模型
連續模型
按建立模型的數學方法分類
幾何模型
微分方程模型
圖論模型
規劃論模型
馬氏鍊模型
按人們對事物發展過程的了解程度分類
白箱模型：指那些内部規律比較清楚的模型。如力學、熱學、電學以及相關的工程技術問題。
灰箱模型：指那些内部規律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都還不同程度地有許多工作要做的問題。如氣象學、生态學、經濟學等領域的模型。
黑箱模型：指一些其内部規律還很少為人們所知的現象。如生命科學、社會科學等方面的問題。但由于因素衆多、關系複雜，也可簡化為灰箱模型來研究。
基本原則
簡化原則
現實世界的原型都是具有多因素、多變量、多層次的比較複雜的系統，對原型進行一定的簡化即抓住主要矛盾，數學模型應比原型簡化，數學模型自身也應是“最簡單”的。
可推導原則
由數學模型的研究可以推導出一些确定的結果，如果建立的數學模型在數學上是不可推導的，得不到确定的可以應用于原型的結果，這個數學模型就是無意義的。
反映性原則
數學模型實際上是人對現實世界的一種反映形式，因此數學模型和現實世界的原型就應有一定的“相似性”，抓住與原型相似的數學表達式或數學理論就是建立數學模型的關鍵性技巧。
建立的要求
1
、真實完整。
1）真實的、系統的、完整的反映客觀現象；
2）必須具有代表性；
3）具有外推性，即能得到原型客體的信息，在模型的研究實驗時，能得到關于原型客體的原因；
4）必須反映完成基本任務所達到的各種業績，而且要與實際情況相符合。
2、簡明實用。在建模過程中，要把本質的東西及其關系反映進去，把非本質的、對反映客觀真實程度影響不大的東西去掉，使模型在保證一定精确度的條件下，盡可能的簡單和可操作，數據易于采集。
3、适應變化。随着有關條件的變化和人們認識的發展，通過相關變量及參數的調整，能很好的适應新情況。
構建的方法和步驟
模型準備
首先要了解問題的實際背景，明确建模目的，搜集必需的各種信息，盡量弄清對象的特征。
模型假設
根據對象的特征和建模目的，對問題進行必要的、合理的簡化，用精确的語言作出假設，是建模至關重要的一步。如果對問題的所有因素一概考慮，無疑是一種有勇氣但方法欠佳的行為，所以高超的建模者能充分發揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨别主次，而且為了使處理方法簡單，應盡量使問題線性化、均勻化。
模型構成
根據所作的假設分析對象的因果關系，利用對象的内在規律和适當的數學工具，構造各個量間的等式關系或其它數學結構。
模型求解
可以采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數值運算等各種傳統的和近代的數學方法，特别是計算機技術。一道實際問題的解決往往需要紛繁的計算，許多時候還得将系統運行情況用計算機模拟出來，因此編程和熟悉數學軟件包能力便舉足輕重。
模型分析
對模型解答進行數學上的分析。“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”。能否對模型結果作出細緻精當的分析，決定了模型能否達到更高的檔次。還要記住，不論那種情況都需進行誤差分析，數據穩定性分析。
模型優化
對一個問題的假設和數學模型不斷加以修改，進行最優化處理。因為對一個問題或一類問題也可能有幾個模型，以對它們要進行比較，直到找到最優模型。
相關研究
花椰菜類幾何圖案數學模型出爐
2012年12月，一個由西班牙卡米亞斯大主教大學（UPCO）、馬德裡卡洛斯三世大學（UC3M）的科學家組成的研究小組，首次開發出一種表現普适機制的數學模型，能描述某些複雜自然花紋形成的規則，比如花椰菜
的表面圖案。相關論文發表在最近出版的《新物理學》雜志上。
該成果有助于改良薄膜塗層技術，掌握它們在什麼情況下會表現出光滑、起皺或粗糙的形狀。這對計算機模拟生成材質紋理也非常有用。而且從概念上，這給他們提供了有關普适機制的線索，指導他們去描述一個整體中不同部分的結構是如何形成的，比如在有資源競争的條件下，一個系統的不同部分之間會形成怎樣的結構。
科學家建立統計模型解答鳥類如何咿呀學語
埃默裡大學生物學家塞缪爾-蘇伯與加利福尼亞大學的生理學家邁克爾-布雷納德通過研究鳴禽如何保持正确鳴叫，已經找到了一種統計學解釋，來解答為什麼對于大腦學習來說有的東西比其它的東西更加困難。
塞缪爾-蘇伯說道：“我們已經建造了第一個數學模型，使用鳥類先前具備的感覺運動經驗來預測它的學習能力。我們希望它能幫助我們理解其它物種以及人類的數學學習。”
他們的研究結果表明成年鳥類能夠更加快速和堅定的改正鳴叫中的小錯誤，這些發現被發表在《國家科學院院刊》上。
科學家建成首個模拟腫瘤生長3D計算機模型
哈佛大學、愛丁堡大學和約翰•霍普金斯大學的科學家們合作完成了首個實體瘤3D計算機模型。該模型不僅刻畫了一種緻命腫瘤的形狀，還展現了它的生長、突變以及演變的過程。科學家稱，該模型将幫助他們理解腫瘤是如何産生抗藥性的。英科學家通過實驗證明遺忘記憶可以被找回
教學大綱
總學時：32學時
适用專業：本科理工類、經濟類各專業
選用教材：姜啟源 編《數學模型》（第二版）高教出版社出版
基本内容和要求
(一) 數學建模的步驟、原理和方法：
1、 了解數學建模的意義；
2、 了解建立數學模型的基本知識、相關的基本概念；
3、 掌握數學建模過程的幾個明顯的處理階段和流程；
4、 通過實例了解數學模型的特點和學習方法；
5、 了解全國大學生數學建模競賽。
(二) 掌握數學建模思想方法：
1、數學建模概述
2、對現實問題的分析、提練、描述
3、幾種創造性思維方法
4、合理假設與信息處理
5、建立數學模型
6、數學軟件與模型求解
7、結果分析與靈敏度分析
8、模型的評價與推廣
9、論文摘要
(三) 數學方法分類建模
1、 初等數學方法建模；
2、 線性規劃法建模；
3、 非線性規劃法建模
4、 微分方程建模；
5、 層次分析法适用的建模問題和處理方法；
6、 圖論方法建模；
7、 概率分布方法建模。
(四) 掌握一些特殊模型：
1、 運輸問題模型；
2、 經濟決策模型；
3、 綜合評判模型；
4、 捕魚業的持續收入；
5、 幾種圖論模型；
6、 效益的合理分配；
(五) 數學建模論文的寫作：
1、 知道數學建模競賽的規則及論文的評閱辦法；
2、 掌握數學建模論文的幾個基本模塊的數學方法。
說明
(一) 本大綱根據我校的實際情況制定。
(二) 課程類型：全校選修課。
(三) 總則：本課程系統地介紹數學模型、數學建模和建模過程中的一些常用方法及數學建模實例，通過課堂教學和讨論，使學生了解數學建模的特性及建模的基本方法，并初步具備對實際問題如何建模的能力以及培養良好的思考習慣和歸納分析能力，使學生在應用數學知識解決實際問題的能力有所提高。學習本課程的大部分内容隻需要大學的微積分、線性代數、概率論等基本數學知識。
(四) 教學目的及要求：逐步培養學生利用數學工具解決實際問題的能力。能夠将實際問題“翻譯”為數學語言，并予以求解，然後再解釋實際現象，甚至應用于實際。最終提高學生的數學素質和應用數學知識解決實際問題的能力。
(五) 教學重點：對實際問題的分析；模型的合理假設；數學工具的恰當應用；模型的建立；模型的求解；模型結果的合理解釋；模型的應用；
(六) 教學難點：對實際問題的分析；模型的合理假設；數學工具的恰當應用；模型結果的合理解釋與模型的應用；
(七) 主要教學環節的組織：循序漸進的介入數學建模的思想，由簡入難的介紹各類數學模型；強化數學與計算機等其他工具的結合；對于一些重點教學環節，在突出對數學方法的同時，要重點講述數學方法與實際問題的一些必然的關聯性，使學生更具體的認識數學。對某些章節用到的不常用數學方法，予以簡單而有目的的介紹。
(八) 大綱中教學基本要求從高到底分為理論部分：深入理解、一般理解、了解；運算部分：熟練掌握、一般掌握、知道。
