簡介
三角形的外心是各邊垂直平分線的交點（是外接圓的圓心），所以到各頂點的距離相等。
外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，即外接圓的圓心。
相關定理
外心定理：三角形的三邊的垂直平分線交于一點。該點叫做三角形的外心。
證明
注意到外心到三角形的三個頂點距離相等，結合垂直平分線定義，外心定理其實極好證。
計算外心的重心坐标是一件麻煩的事。先計算下列臨時變量：
d1,d2,d3分别是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：((c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c)。
且：
直角三角形外心在斜邊的中點。
銳角三角形外心在内部。
鈍角三角形外心在外部。
設O是三角形ABC的外心則∠AOC=2∠ABC,∠AOB=2∠ACB
與多邊形各角都相交的圓叫做多邊型的外接圓。
三角形一定有外接圓，其他的圖形不一定有外接圓。
三角形的外接圓圓心是三條中垂線的交點，直角三角形的外接圓圓心在斜邊的中點上。
三角形外接圓圓心叫外心
有外心的圖形，一定有外接圓(各邊中垂線的交點，叫做外心）
三角形外心的性質：
性質1：銳角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點重合； 鈍角三角形的外心在三角形外。
性質2：三角形三條邊的垂直平分線的交于一點,該點即為三角形外接圓的圓心，外心到三頂點的距離相等。
性質3：點G是平面ABC上一點，那麼點G是⊿ABC外心的充要條件：(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=向量0.
例題分析
例1 PC⊥平面ABC，AB=BC=CA=PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值．
分析 由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，從而B在平面PAC上的射影在AC上，由此可用三垂線定理作出二面角的平面角．
解 ∵ PC⊥平面ABC
∴ 平面PAC⊥平面ABC，交線為AC作BD⊥AC于D點，據面面垂直性質定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA于E，連BE，據三垂線定理，則BE⊥PA，從而∠BED是二面角B－PA－C的平面角．
設PC=a，依題意知三角形ABC是邊長為a的正三角形，∴ D是
∵PC = CA=a，∠PCA=90°，∴ ∠PAC=45°∴ 在Rt△DEA
評注 本題解法使用了三垂線定理來作出二面角的平面角後，再用解三角形的方法來求解．
例2 在60°二面角M－a－N内有一點P，P到平面M、平面N的距離分别為1和2，求點P到直線a的距離．
分析 設PA、PB分别為點P到平面M、N的距離，過PA、PB作平面α，分别交M、N于AQ、BQ．
同理，有PB⊥a，
∵ PA∩PB=P，
∴ a⊥面PAQB于Q
又 AQ、BQ
平面PAQB
∴ AQ⊥a，BQ⊥a．
∴ ∠AQB是二面角M－a－N的平面角．
∴ ∠AQB=60°
連PQ，則PQ是P到a的距離，在平面圖形PAQB中，有
∠PAQ=∠PBQ=90°
∴ P、A、Q、B四點共圓，且PQ是四邊形PAQB的外接圓的直徑2R
在△PAB中，∵ PA=1，PB=2，∠BPA=180°-60°=120°，由餘弦定理得
AB2=1+4-2×1×2cos120°=7
由正弦定理：
評注 本例題中，通過作二面角的棱的垂面，找到二面角的平面角．
例3 過正方形ABCD的頂點A作PA⊥平面ABCD，設PA=AB=a 求(1)二面角B－PC－D的大小；(2)平面PAB和平面PCD所成二面角的大小．
分析 二面角B－PC－D的棱為PC，所以找平面角作棱的垂線，而平面PAB和平面PCD所成二面角“無棱”須找二面角的棱．
解 (1)∵ PA⊥平面ABCD，BD⊥AC
∴ BD⊥PC(三垂線定理)
在平面PBC内，作BE⊥PC，E為垂足，連結DE，得PC⊥平面BED，從而DE⊥PC，即∠BED是二面角B－PC－D的平面角．
在Rt△PAB中，由PA=AB=a
∵ PA⊥平面ABCD，BC⊥AB
∴ BC⊥PB(三垂線定理)
在Rt△PBC中，
在△BDE中，根據餘弦定理，得
∴ ∠BED=120°
即二面角B－PC－D的大小為120°．
(2)過P作PQ ∥AB，則PQ
平面PAB，
∵ AB∥CD ∴ PQ∥CD，PQ
平面PCD
∴ 平面PAB∩平面PCD于PQ
∵ PA⊥AB，AB∥PQ ∴ PA⊥PQ
∵ PA⊥平面ABCD，CD⊥AD
∴ CD⊥PD(三垂線定理的逆定理)
∵ PQ∥CD ∴ PD⊥PQ
所以∠APD是平面PAB和平面PCD所成的二面角的平面角．
∵ PA=AB=AD，∴∠APD=45°
即平面PAB和平面PCD所成的二面角為45°.
評注 在求無棱二面角的大小時有時須作出棱線後再找平面角．
性質
1、三角形的三條邊的垂直平分線交于一點，該點即為該三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，則∠BOC=2∠A（∠A為銳角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A為鈍角）。
3、當三角形為銳角三角形時，外心在三角形内部；當三角形為鈍角三角形時，外心在三角形外部；當三角形為直角三角形時，外心在斜邊上，與斜邊的中點重合。
4、計算外心的重心坐标應先計算下列臨時變量：d1，d2，d3分别是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐标：((c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c)。
5、外心到三頂點的距離相等。
