簡述
黎曼幾何是德國數學家黎曼創立的。他在1851年所作的一篇論文《論幾何學作為基礎的假設》中明确的提出另一種幾何學的存在，開創了幾何學的一片新的廣闊領域。
黎曼幾何中的一條基本規定是：在同一平面内任何兩條直線都有公共點(交點)。在黎曼幾何學中不承認平行線的存在，它的另一條公設講：直線可以無限延長，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經過适當“改進”的球面。
歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區别的幾何。這三種幾何各自所有的命題都構成了一個嚴密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨立性。因此這三種幾何都是正确的。
在我們這個不大不小、不遠不近的空間裡，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是适用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實際；在地球表面研究航海、航空等實際問題中，黎曼幾何更準确一些。
創立
人們終于認識到存在一種不同于歐氏幾何的新幾何，稱其為非歐幾何。不久之後，德國的黎曼采用另一條新公理取代第五公設，創建了另一種非歐幾何。黎曼的新公理認為，“過直線外的一點，一條平行線也得不出來”。數學界很快認識到這三種幾何都是正确的，它們反映不同曲率空間的性質。人們把羅巴切夫斯基和鮑耶創建的幾何稱為羅氏幾何，把黎曼創建的幾何稱為黎氏幾何。歐氏幾何是平直空間中的幾何，黎氏幾何是正曲率空間中的幾何，羅氏幾何則是負曲率空間中的幾何。
1845年，黎曼在哥廷根大學發表了題為《論作為幾何基礎的假設》的就職演講，标志着黎曼幾何的誕生。黎曼把這三種幾何統一起來，統稱為黎曼幾何，并用這一工作，在哥廷根大學的數學系作報告，謀求一個講師的位置。
後經E．B．Christoffel，L．Bianohi及C．G．Ricci等人進一步完善和拓廣，成為A．Einstein創立廣義相對論(1915年)的有力數學工具。此後黎曼幾何得到了蓬勃發展，特别是E．Cartan，他建立的外微分形式和活動标架法，溝通了Lie群與黎曼幾何的聯系，為黎曼幾何的深入發展開辟了廣闊的前景，影響極為深遠。近半個世紀來，黎曼幾何的研究從局部發展到整體，産生了許多深刻的并在其他數學分支(如代數拓撲學，偏微分方程，多複交函數論等)及現代物理學中有重要作用的結果。
内容
黎曼的研究是以高斯關于曲面的内蘊微分幾何為基礎的，在黎曼幾何中，最重要的一種對象就是所謂的常曲率空間，對于三維空間，有以下三種情形：
◆ 曲率恒等于零；
◆ 曲率為負常數；
◆ 曲率為正常數．
黎曼指出：前兩種情形分别對應于歐幾裡得幾何學和羅巴切夫斯基幾何學，而第三種情形則是黎曼本人的創造，它對應于另一種非歐幾何學。黎曼的這第三種幾何就是用命題“過直線外一點所作任何直線都與該直線相交”代替第五公設作為前提，保留歐氏幾何學的其他公理與公設，經過嚴密邏輯推理而建立起來的幾何體系。這種幾何否認“平行線”的存在，是另一種全新的非歐幾何，這就是如今狹義意義下的黎曼幾何，它是曲率為正常數的幾何，也就是普通球面上的幾何，又叫球面幾何。該文于黎曼去世兩年後的1868年發表。
應用
近代黎曼幾何在廣義相對論裡得到了重要的應用。在物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對論裡，愛因斯坦放棄了關于時空均勻性的觀念，他認為時空隻是在充分小的空間裡以一種近似性而均勻的，但是整個時空卻是不均勻的。在物理學中的這種解釋，恰恰是和黎曼幾何的觀念是相似的。
此外，黎曼幾何在數學中也是一個重要的工具。它不僅是微分幾何的基礎。也應用在微分方程、變分法和複變函數論等方面。
人物介紹
黎曼（德國，1826－1866年）：幾何觀點，黎曼面。1851年博士論文《單複變函數一般理論基礎》，其重要性恰如著名數學家阿爾福斯（芬－美，1907－1996年）所說：這篇論文不僅包含了現代複變函數論主要部分的萌芽，而且開啟了拓撲學的系統研究，革新了代數幾何，并為黎曼自己的微分幾何研究鋪平了道路。此外，建立了柯西－黎曼條件，真正使這方程成為複分析大廈的基石，揭示出複函數與實函數之間的深刻區别，黎曼映射定理。
幾何
黎曼流形上的幾何學。德國數學家G.F.B.黎曼19世紀中期提出的幾何學理論。
1854 年他在格丁根大學做了題為《論作為幾何學基礎的假設》的就職演講， 黎曼幾何得以創立發展起來。在這篇演說中，黎曼将曲面本身看成一個獨立的幾何實體，而不是把它僅僅看作歐幾裡得空間中的一個幾何實體。他首先發展了空間的概念，提出了幾何學研究的對象應是一種多重廣義量，空間中的點可用n個實數（x1，……，xn）作為坐标來描述。
這是現代n維微分流形的原始形式，為用抽象空間描述自然現象奠定了基礎。這種空間上的幾何學應基于無限鄰近兩點（x1，x2，……xn）與（x1+dx1，……xn+dxn）之間的距離，用微分弧長度平方所确定的正定二次型理解度量。亦即（gij）是由函數構成的正定對稱矩陣。這便是黎曼度量。賦予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。
黎曼認識到度量隻是加到流形上的一種結構，并且在同一流形上可以有許多不同的度量。黎曼以前的數學家僅知道三維歐幾裡得空間E3中的曲面S上存在誘導度量ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2，即第一基本形式，而并未認識到S還可以有獨立于三維歐幾裡得幾何賦予的度量結構。黎曼意識到區分誘導度量和獨立的黎曼度量的重要性，從而擺脫了經典微分幾何曲面論中局限于誘導度量的束縛，創立了黎曼幾何學，為近代數學和物理學的發展作出了傑出貢獻。
黎曼幾何以歐幾裡得幾何和種種非歐幾何作為其特例。例如：定義曲率（截面曲率處處為常數）（a是常數），則當a=0時是普通的歐幾裡得幾何，當a>0時，就是橢圓幾何，而當a<0時為雙曲幾何。
微分幾何中，黎曼幾何研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空間上二次形式的選擇。它特别關注于角度、弧線長度及體積。把每個微小部分加起來而得出整體的數量。
19世紀，波恩哈德·黎曼把這個概念加以推廣。兩個非歐幾裡得幾何的特例是：球面幾何和雙曲幾何。
任意平滑流形容許黎曼度量及這個額外結構幫助解決微分拓撲問題。它成為僞黎曼流形複雜結構的入門。其中大部分都是廣義相對論的四維研究對象。
研究黎曼幾何先要熟悉以下主題：
1.度量張量
2.黎曼流形
3.列維-奇維塔聯絡
4.曲率
5.曲率張量
學說發展
與李群
黎曼幾何中的一個基本問題是微分形式的等價性問題。該問題大約在1869年前後由E.B.克裡斯托費爾和R.李普希茨等人解決。前者的解包含了以他的姓命名的兩類克裡斯托費爾記号和協變微分概念。在此基礎上G.裡奇發展了張量分析方法，這在廣義相對論中起了基本數學工具的作用。他們進一步發展了黎曼幾何學。
但在黎曼所處的時代，李群以及拓撲學還沒有發展起來，因此黎曼幾何隻限于小範圍的理論。大約在1925年H.霍普夫才開始對黎曼空間的微分結構與拓撲結構的關系進行了研究。随着微分流形精确概念的确立，特别是E.嘉當在20世紀20年代開創并發展了外微分形式與活動标架法，建立了李群與黎曼幾何之間的聯系，從而為黎曼幾何的發展奠定重要基礎，并開辟了廣闊的園地，影響極其深遠。并由此發展了線性聯絡及纖維叢的研究。
與愛因斯坦
1915年，A.愛因斯坦運用黎曼幾何和張量分析工具創立了新的引力理論——廣義相對論。使黎曼幾何（嚴格地說洛倫茲幾何）及其運算方法（裡奇算法）成為廣義相對論研究的有效數學工具。而相對論的發展則受到整體微分幾何的強烈影響。例如矢量叢和聯絡論構成規範場（楊-米爾斯場）的數學基礎。
1944年陳省身給出n維黎曼流形高斯-博内公式的内蘊證明，以及他關于埃爾米特流形的示性類的研究，引進了後來通稱的陳示性類，為大範圍微分幾何提供了不可缺少的工具并為複流形的微分幾何與拓撲研究開創了先河。半個多世紀，黎曼幾何的研究從局部發展到整體，産生了許多深刻的結果。黎曼幾何與偏微分方程、多複變函數論、代數拓撲學等學科互相滲透，相互影響，在現代數學和理論物理學中有重大作用。
廣義相對論
廣義相對論是阿爾伯特·愛因斯坦于1915年發表的用幾何語言描述的引力理論，它代表了現代物理學中引力理論研究的最高水平。廣義相對論将經典的牛頓萬有引力定律包含在狹義相對論的框架中，并在此基礎上應用等效原理而建立。在廣義相對論中，引力被描述為時空的一種幾何屬性（曲率）；而這種時空曲率與處于時空中的物質與輻射的能量-動量張量直接相聯系，其聯系方式即是愛因斯坦的引力場方程（一個二階非線性偏微分方程組）。
從廣義相對論得到的有關預言和經典物理中的對應預言非常不相同，尤其是有關時間流逝、空間幾何、自由落體的運動以及光的傳播等問題，例如引力場内的時間膨脹、光的引力紅移和引力時間延遲效應。廣義相對論的預言至今為止已經通過了所有觀測和實驗的驗證——雖說廣義相對論并非當今描述引力的唯一理論，它卻是能夠與實驗數據相符合的最簡潔的理論。不過，仍然有一些問題至今未能解決，典型的即是如何将廣義相對論和量子物理的定律統一起來，從而建立一個完備并且自洽的量子引力理論。
愛因斯坦的科學定律，對所有的觀察者，不管他們如何運動，都必須是相同的。它将引力解釋成四維空間的曲率。
與歐氏幾何
注意區分兩種不同的讨論：數學上的讨論和物理學的時空觀。
數學上的黎曼幾何可以看做是歐式幾何的推廣。歐式幾何中的度量是零曲率的，而黎曼幾何研究更一般的度量，在不同的度量下，空間的曲率是不同的。
物理學中，牛頓力學粗略地說是建立在歐式空間上的。而廣義相對論裡的時空是一個黎曼流形。
以下一段讨論涉及物理時所說的“歐式幾何”有時候是指“牛頓時空觀”。
歐氏幾何
是把認識停留在平面上了，所研究的範圍是絕對的平的問題，認為人生活在一個絕對平的世界裡。因此在平面裡畫出的三角形三條邊都是直的。兩點之間的距離也是直的。但是假如我們生活的空間是一個雙曲面，（不是雙曲線），這個雙曲面，我們可以把它想象成一口平滑的鍋或太陽罩，我們就在這個雙曲面裡畫三角形，這個三角形的三邊的任何點都絕對不能離開雙曲面。
我們将發現這個三角形的三邊無論怎麼畫都不會是直線，那麼這樣的三角形就是羅氏三角形，經過論證發現，任何羅氏三角形的内角和都永遠小于180度，無論怎麼畫都不能超出180度，但是當把這個雙曲面漸漸展開時，一直舒展成絕對平的面，這時羅氏三角形就變成了歐氏三角形，也就是我們在初中學的平面幾何，其内角和自然是180度。
在平面上，兩點間的最短距離是線段，但是在雙曲面上，兩點間的最短距離則是曲線，因為平面上的最短距離在平面上，那麼曲面上的最短距離也隻能在曲面上，而不能跑到曲面外抻直，故這個最短距離隻能是曲線。若我們把雙曲面舒展成平面以後，再繼續朝平面的另一個方向變，則變成了橢圓面或圓面，這個時候，如果我們在這個橢圓面上畫三角形，将發現，無論怎麼畫，這個三角形的内角和都大于180度，兩點間的最短距離依然是曲線，這個幾何就是黎曼幾何。
這個幾何在物理上非常有用，因為光在空間上就是沿着曲線跑的，并非是直線，我們生活在地球上，因此我們的空間也是曲面，而不是平面，但為了生活方便，都不做嚴格規定，都近似地當成了平面。
