回文數:正讀倒讀都一樣的整數-中文百科頻道

基本情況

1千以内的回文數

在自然數中，最小的回文數是0，其次是1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,22,33,44,55,66,77,88,99,101,111,121,131,141,151,161,171,181,191,202,212,222,232,242,252,262,272,282,292,303,313,323,333,343,353,363,373,383,393,404,414,424,434,444,454,464,474,484,494,505,515,525,535,545,555,565,575,585,595,606,616,626,636,646,656,666,676,686,696,707,717,727,737,747,757,767,777,787,797,808,818,828,838,848,858,868,878,888,898,909,919,929,939,949,959,969,979,989,999.

平方回數

定義：一個回文數，它同時還是某一個數的平方，這樣的數字叫做平方回數。例如：121。

100以上至1000以内的平方回數隻有3個，分别是：121、484、676。

其中，121是11的平方。

484是22的平方，同時還是121的4倍。

676是26的平方，同時還是169的4倍。

舉例說明

任意某一個數通過以下方式相加也可得到

如：29+92=121 還有 194+491=685，586+685=1271，1271+1721=2992

不過很多數還沒有發現此類特征（比如196,下面會講到）

另外個别平方數是回文數

1的平方=1

11的平方=121

111的平方=12321

1111的平方=1234321

……

依次類推

3×51=153

6×21=126

4307×62=267034

9×7×533=33579

上面這些算式,等号左邊是兩個(或三個)因數相乘,右邊是它們的乘積。如果把每個算式中的“×”和“=”去掉，那麼，它們都變成回文數，所以，我們不妨把這些算式叫做“回文算式”。還有一些回文算式，等号兩邊各有兩個因數。請看：

12×42=24×21

34×86=68×43

102×402=204×201

1012×4202=2024×2101

不知你是否注意到，如果分别把上面的回文算式等号兩邊的因數交換位置，得到的仍是一個回文算式，比如：分别把“12×42=24×21”等号兩邊的因數交換位置，得到算式是：

42×12=21×24

這仍是一個回文算式。

還有更奇妙的回文算式，請看：

12×231=132×21（積是2772）

12×4032=2304×21（積是48384）

這種回文算式，連乘積都是回文數。

四位的回文數有一個特點，就是它決不會是一個質數。設它為abba，那它等于a*1000+b*100+b*10+a，1001a+110b。能被11整除。

六位的也一樣，也能被11整除

還有，人們借助電子計算機發現，在完全平方數、完全立方數中的回文數，其比例要比一般自然數中回文數所占的比例大得多。例如11^2=121，22^2=484，7^3=343,11^3=1331，11^4=14641……都是回文數。

研究現狀

人們迄今未能找到自然數(除0和1)的五次方，以及更高次幂的回文數。于是數學家們猜想：不存在n^k(n≥2,k≥5;n、k均是自然數)形式的回文數。

在電子計算器的實踐中，還發現了一樁趣事：任何一個自然數與它的倒序數相加，所得的和再與和的倒序數相加，……如此反複進行下去，經過有限次步驟後，最後必定能得到一個回文數。

這也僅僅是個猜想，因為有些數并不“馴服”。比如說196這個數，按照上述變換規則重複了數十萬次，仍未得到回文數。但是人們既不能肯定運算下去永遠得不到回文數，也不知道需要再運算多少步才能最終得到回文數。

回文數算法

随意找一個十進制的數，把它倒過來成另一個數，再把這兩個數相加，得一個和數，這是第一步;然後把這個和數倒過來，與原來的和數相加，又得到一個新的和數，這是第二步。照此方法，一步步接續往下算，直到出現一個“回文數”為n。例如:28+82=110,110+011=121，兩步就得出了一個“回文數”。如果接着算下去，還會得到更多的“回文數”。這個過程稱為“196算法”。

對回文數的探索過程

上而提到的196這個數，是第一個可能的“利克瑞爾數”，因而它受到了最多的關注。由于還不可能證明一個數永遠不能形成“回文數”，所以“196和其他那些(看起來)不能形成回文數的數是利克瑞爾數”這一命題僅是猜想而非已獲證明。能證明的僅是那些反例，即如果一個數最終能形成“回文數”，則它不是“利克瑞爾數”。

在電子計算機尚未問世的1938年，美國數學家萊默(D. Lehmer,1905-1991)計算到了第73步，得到了一個沒有形成“回文數”的35位的和數。至今挑戰此題的數學愛好者從沒有間斷過，并随着計算機科技的發展，不斷有發燒友編寫不同的程序對此題發起挑戰。據筆者最新調查，領軍人W.V.Landingham到2006年2月已經計算到了699萬步，得到了一個2.89億位以上的和數，之間的結果仍未出現“回文數”。

另外介紹一個關于達到“回文數”需要計算步數的世界記錄。它是一個19位數字1,186,060,307,891,929,990,算出“回文數，，需要了261步。它是由Jason Doucette的算法及程序于2005年11月30日發現的。下表列舉的是各位數字中，到達“回文數”花費步數最多的代表性數字。

編程實現

JAVA源程序

publicclassPlalindrome{

publicstaticvoidmain(String[]args){

System.out.println("11is"+(isPlalindrome(11)?"":"not")+"Plalindromenumber");

System.out.println("123is"+(isPlalindrome(123)?"":"not")+"Plalindromenumber");

System.out.println("17251is"+(isPlalindrome(17251)?"":"not")+"Plalindromenumber");

System.out.println("2882is"+(isPlalindrome(2882)?"":"not")+"Plalindromenumber");

}

publicstaticbooleanisPlalindrome(intnumber){

//此方法實現判斷數字是不是回文數

Stringnum=String.valueOf(number);

returnnewStringBuffer(num).reverse().toString().equalsIgnoreCase(num);

}

---------------

11 is Plalindrome number

123 is not Plalindrome number

17251 is not Plalindrome number

2882 is Plalindrome number

用visual basic6.0

for i = 100 to 99999 '這裡從100開始後面可以随便填，我這裡填99999 表示所有3位數到五位數之間的回文數

if StrReverse(i)=i then print i '用StrReverse函數判斷倒序後的數和原來數是否相同，如果相同者表示此數為回文數

用C語言編程

#include

intx,y;

separate(int*data,intn)

{

inti,j;

y=0;

while(n!=0)

{

*(data+y)=n%10;n=n/10;y++;

}

*(data+y)='0';

for(i=0,j=y-1;i<=j;i++,j--)

{

if(*(data+i)!=*(data+j)){

printf("%d不是回文!!!n",x);break;

}

if(i ==y-1) printf("是回文數");

}

voidmain()

{

inta[99];

printf("請輸入一個正整數：");

scanf("%d",&x);

separate(a,x);

}

另外一種實現方法（c++）更簡便

#include

using namespace std;

bool symm(long m)

{

long temp = m,n=0;

while (temp)

{

n = n*10+temp%10;

temp = temp/10;

}

return (m == n);

}

int main(int argc, _TCHAR* argv[])

{

long m;

cout<<"請輸入一個整數：";

cin>>m;

cout<<"輸入了"<

return 0;

}

python源程序

#coding:--utf-8--　#-*-coding:cp936-*-

classHws:　def__init__(self):　self.result=[]　defhWs(self):　forainrange(1,10000):　b=str(a)　foriinrange(0,len(b)/2+1):　ifb[i]==b[len(b)-i-1]:　self.result.append(a)　printself.result　hws=Hws()　hws.hWs()