求解
在過去漫長的年代裡，人們為了研究和解決這個問題，不知遇到了多少困苦，花費了多少精力和時間。
在平面圖形中，以長方形的面積容易計算了。用大小一樣的正方形磚鋪墊長方形地面，如果橫向用八塊，縱向用六塊，那一共就用了8×6=48塊磚。所以求長方形面積的公式是：長×寬。
求平行四邊形的面積，可以用割補的方法，把它變成一個與它面積相等的長方形。長方形的長和寬，就是平行四邊形的底和高。所以求平行四邊形面積的公式是：底×高。
求三角形的面積，可以對接上一個和它全等的三角形，成為一個平行四邊形。這樣，三角形的面積，就等于和它同底同高的平行四邊形面積的一半。因此，求三角形面積的公式是：底×高÷2
任何一個多邊形，因為可以分割成若幹個三角形，所以它的面積，就等于這些三角形面積的和。
曆史難題
4000多年前修建的埃及胡夫金字塔，底座是一個正方形，占地52900平方米。它的底座邊長和角度計算十分準确，誤差很小，可見當時測算大面積的技術水平已經很高。
圓是最重要的曲邊形。古埃及人把它看成是神賜予人的神聖圖形。怎樣求圓的面積，是數學對人類智慧的一次考驗。
也許你會想，既然正方形的面積那麼容易求，我們隻要想辦法做出一個正方形，使它的面積恰好等于圓面積就行了。是啊，這樣的确很好，但是怎樣才能做出這樣的正方形呢？
你知道古代三大幾何難題嗎？其中的一個，就是剛才講到的化圓為方。這個起源于古希臘的幾何作圖題，在2000多年裡，不知難倒了多少能人，直到19世紀，人們才證明了這個幾何題，是根本不可能用古代人的尺規作圖法作出來的。
解法探究
古代數學家的貢獻
我國古代的數學家“祖沖之”，從圓内接正六邊形入手，讓邊數成倍增加，用圓内接正多邊形的面積去逼近圓面積。
古希臘的數學家，從圓内接正多邊形和外切正多邊形同時入手，不斷增加它們的邊數，從裡外兩個方面去逼近圓面積。
古印度的數學家，采用類似切西瓜的辦法，把圓切成許多小瓣，再把這些小瓣對接成一個長方形，用長方形的面積去代替圓面積。
衆多的古代數學家煞費苦心，巧妙構思，為求圓面積作出了十分寶貴的貢獻。為後人解決這個問題開辟了道路。
開普勒的求解方法
16世紀的德國天文學家開普勒，是一個愛觀察、肯動腦筋的人。他把丹麥天文學家第谷遺留下來的大量天文觀測資料，認真地進行整理分析，提出了著名的“開普勒三定律”。開普勒第一次告訴人們，地球圍繞太陽運行的軌道是一個橢圓，太陽位于其中的一個焦點上。
提出圓面積公式
開普勒當過數學老師，他對求面積的問題非常感興趣，曾進行過深入的研究。他想，古代數學家用分割的方法去求圓面積，所得到的結果都是近似值。為了提高近似程度，他們不斷地增加分割的次數。但是，不管分割多少次，幾千幾萬次，隻要是有限次，所求出來的總是圓面積的近似值。要想求出圓面積的精确值，必須分割無窮多次，把圓分成無窮多等分才行。
開普勒也仿照切西瓜的方法，把圓分割成許多小扇形；不同的是，他一開始就把圓分成無窮多個小扇形。
圓面積等于無窮多個小扇形面積的和，所以在最後一個式子中，各段小弧相加就是圓的周長2πR，所以有這就是我們所熟悉的圓面積公式。
開普勒運用無窮分割法，求出了許多圖形的面積。1615年，他将自己創造的這種求圓面積的新方法，發表在《葡萄酒桶的立體幾何》一書中。
開普勒大膽地把圓分割成無窮多個小扇形，并果敢地斷言：無窮小的扇形面積，和它對應的無窮小的三角形面積相等。他在前人求圓面積的基礎上，向前邁出了重要的一步。
《葡萄酒桶的立體幾何》一書，很快在歐洲流傳開了。數學家們高度評價開普勒的工作，稱贊這本書是人們創造求圓面積和體積新方法的靈感源泉。
新的理論
一種新的理論，在開始的時候很難十全十美。開普勒創造的求圓面積的新方法，引起了一些人的懷疑。他們問道：開普勒分割出來的無窮多個小扇形，它的面積究竟等于不等于零？如果等于零，半徑OA和半徑OB就必然重合，小扇形OAB就不存在了；如果客觀存在的面積不等于零，小扇形OAB與小三角形OAB的面積就不會相等。開普勒把兩者看作相等就不對了。
卡瓦利裡的求解方法
意大利物理學家伽利略的學生，他研究了開普勒求圓面積方法存在的問題。
卡瓦利裡想，開普勒把圓分成無窮多個小扇形，這每個小扇形的面積到底等不等于圓面積，就不好确定了。但是，隻要小扇形還是圖形，它是可以再分的呀。開普勒為什麼不再繼續分下去了呢？要是真的再細分下去，那分到什麼程度為止呢？這些問題，使卡瓦利裡陷入了沉思之中。
有一天，當卡瓦利裡的目光落在自己的衣服上時，他忽然靈機一動：唉，布不是可以看成為面積嘛！布是由棉線織成的，要是把布拆開的話，拆到棉線就為止了。我們要是把面積像布一樣拆開，拆到哪兒為止呢？應該拆到直線為止。幾何學規定直線沒有寬度，把面積分到直線就應該不能再分了。于是，他把不能再細分的東西叫做“不可分量”。棉線是布的不可分量，直線是平面面積的不可分量。
卡瓦利裡還進一步研究了體積的分割問題。他想，可以把長方體看成為一本書，組成書的每一頁紙，應該是書的不可分量。這樣，平面就應該是長方體體積的不可分量。幾何學規定平面是沒有薄厚的，這樣也是有道理的。
新的求解方法
卡瓦利裡緊緊抓住自己的想法，反複琢磨，提出了求圓面積和體積的新方法。
1635年，當《葡萄酒桶的立體幾何》一書問世20周年的時候，意大利出版了卡瓦利裡的《不可分量幾何學》。在這本書中，卡瓦利裡把點、線、面，分别看成是直線、平面、立體的不可分量；把直線看成是點的總和，把平面看成是直線的總和，把立體看成是平面的總和。
卡瓦利裡還根據不可分量的方法指出，兩本書的外形雖然不一樣，但是，隻要頁數相同，薄厚相同，而且每一頁的面積也相等，那麼，這兩本書的體積就應該相等。他認為這個道理，适用于所有的立體，并且用這個道理求出了很多立體的體積。這就是有名的“卡瓦利裡原理。”
事實上，最先提出這個原理的，是我國數學家祖暅。比卡瓦利裡早1000多年，所以我們叫它“祖暅原理”。
在一個圓裡畫一個最大的正方形，正方形占圓面積的約63.7%，在一個圓外畫一個最小的正方形，正方形面積是圓形面積的157%。
公式推導
圓周長公式的推導
圓周長（c）：圓的直徑（D），那圓的周長（c）除以圓的直徑（D）等于π，那利用乘法的意義，就等于π乘圓的直徑（D）等于圓的周長（C），C=πd。而同圓的直徑（D）是圓的半徑（r）的兩倍，所以就圓的周長（c）等于2乘以π乘以圓的半徑（r），C=2πr。
圓面積公式的推導
把圓平均分成若幹份，可以拼成一個近似的長方形。長方形的寬就等于圓的半徑（r），長方形的長就是圓周長（C）的一半。長方形的面積是ab，那圓的面積就是：圓的半徑（r）的平方乘以π，S=πrr。
推導曆史
如何求圓面積？如今已是非常簡單的問題，利用公式一算，便可得到答案。可在過去，人們為了研究和解決這個問題，花費大量的精力和時間。
4000多年前修建的埃及胡夫金字塔，底座是一個正方形，占地52900平方米。它的底座邊長和角度計算十分準确，誤差很小，可見當時測算大面積的技術水平已經很高。而圓是最重要的曲邊形。古埃及人把它看成是神賜予人的神聖圖形。如何求圓的面積，是數學對人類智慧的一次考驗。圓面積公式的常規推導思路是:先把一個圓平均分成若幹份，然後将其拼成近似的長方形，最後根據長方形與圓的關系推導出圓的面積公式。當時人們認為既然正方形的面積容易求，隻需要想辦法做出一個面積恰好等于圓面積的正方形。但是怎樣才能做出這樣的正方形又成為了另外一個難題。古代三大幾何難題其中之一，便是化圓為方。這個起源于古希臘的幾何作圖題，在2000多年裡，不知難倒了多少能人，直到19世紀，人們才證明了這個幾何題，是根本不可能用古代人的尺規作圖法作出來的。
古代數學家的貢獻
我國古代的數學家祖沖之，從圓内接正六邊形入手，讓邊數成倍增加，用圓内接正多邊形的面積去逼近圓面積。
古希臘的數學家，從圓内接正多邊形和外切正多邊形同時入手，不斷增加它們的邊數，從裡外兩個方面去逼近圓面積。
古印度的數學家，采用類似切西瓜的辦法，把圓切成許多小瓣，再把這些小瓣對接成一個長方形，用長方形的面積去代替圓面積。
衆多的古代數學家煞費苦心，巧妙構思，為求圓面積作出了十分寶貴的貢獻。為後人解決這個問題開辟了道路。
開普勒的求解方法
16世紀的德國天文學家開普勒，當過數學老師，他對求面積的問題非常感興趣，曾進行過深入的研究。他想，古代數學家用分割的方法去求圓面積，所得到的結果都是近似值。為了提高近似程度，他們不斷地增加分割的次數。但是，不管分割多少次，幾千幾萬次，隻要是有限次，所求出來的總是圓面積的近似值。要想求出圓面積的精确值，必須分割無窮多次，把圓分成無窮多等分才行。
開普勒也仿照切西瓜的方法，把圓分割成許多小扇形；不同的是，他一開始就把圓分成無窮多個小扇形。圓面積等于無窮多個小扇形面積的和，所以在最後一個式子中，各段小弧相加就是圓的周長2πR，所以有 。這就是我們所熟悉的圓面積公式。
開普勒運用無窮分割法，求出了許多圖形的面積。1615年，他将自己創造的這種求圓面積的新方法，發表在《葡萄酒桶的立體幾何》一書中。開普勒大膽地把圓分割成無窮多個小扇形，并果敢地斷言：無窮小的扇形面積，和它對應的無窮小的三角形面積相等。他在前人求圓面積的基礎上，向前邁出了重要的一步。《葡萄酒桶的立體幾何》一書，很快在歐洲流傳開了。數學家們高度評價開普勒的工作，稱贊這本書是人們創造求圓面積和體積新方法的靈感源泉。
開普勒創造的求圓面積的新方法，引起了一些人的懷疑。他們問道：開普勒分割出來的無窮多個小扇形，它的面積究竟等于不等于零？如果等于零，半徑OA和半徑OB就必然重合，小扇形OAB就不存在了；如果客觀存在的面積不等于零，小扇形OAB與小三角形OAB的面積就不會相等。開普勒把兩者看作相等就不對了。
面對别人提出的問題，開普勒自己也解釋不清。
卡瓦利裡的求解方法
卡瓦利裡是意大利物理學家伽利略的學生，他研究了開普勒求圓面積方法存在的問題。
卡瓦利裡認為，開普勒把圓分成無窮多個小扇形，這每個小扇形的面積到底等不等于圓面積，就不好确定了。但是，隻要小扇形還是圖形，它是可以再分的。要是真的再細分下去，那分到什麼程度為止呢？這個問題，使卡瓦利裡陷入了沉思。
一天，當卡瓦利裡的目光落在自己的衣服上時，他靈機一動：布可以看成面積！布由棉線織成，要是把布拆開，拆到棉線就停止了。我們要是把面積像布一樣拆開，應該拆到直線為止。幾何學規定直線沒有寬度，把面積分到直線就應該不能再分了。于是，他把不能再細分的東西叫做“不可分量”。棉線是布的不可分量，直線是平面面積的不可分量。
卡瓦利裡還進一步研究了體積的分割問題。他想，可以把長方體看成為一本書，組成書的每一頁紙，應該是書的不可分量。這樣，平面就應該是長方體體積的不可分量。幾何學規定平面是沒有薄厚的，這樣也是有道理的。卡瓦利裡緊緊抓住自己的想法，反複琢磨，提出了求圓面積和體積的新方法。
1635年，當《葡萄酒桶的立體幾何》一書問世20周年的時候，意大利出版了卡瓦利裡的《不可分量幾何學》。在這本書中，卡瓦利裡把點、線、面，分别看成是直線、平面、立體的不可分量；把直線看成是點的總和，把平面看成是直線的總和，把立體看成是平面的總和。
卡瓦利裡還根據不可分量的方法指出，兩本書的外形雖然不一樣，但是，隻要頁數相同，薄厚相同，而且每一頁的面積也相等，那麼，這兩本書的體積就應該相等。他認為這個道理，适用于所有的立體，并且用這個道理求出了很多立體的體積。這就是有名的“卡瓦利裡原理”。事實上，最先提出這個原理的，是我國數學家祖暅。比卡瓦利裡早1000多年，所以我們叫它“祖暅原理”。
在一個圓裡畫一個最大的正方形，正方形占圓面積的約63.7%，在一個圓外畫一個最小的正方形，正方形面積是圓形面積的157%。
新增求解方法
在卡瓦利裡的觀點上拓展，也可以将曲線看做不可分量。所以圓面積近似于無數個圓周長曲線的拼接，這些圓的半徑是從0到r的連續點，可以看作長度為r的直線，這些圓的半徑之和可以看作直角邊長為r的直角等邊三角形，故可得公式：
