正多面體

名詞簡介

正多面體的種數很少。多面體可以有無數，但正多面體隻有正四面體、正六面體（正方體）、正八面體、正十二面體、正二十面體五種。其中面數最少的是正四面體，面數最多的是正二十面體。有些化學物質的結晶體呈正多面體的形狀，如食鹽的結晶體是正六面體，明礬的結晶體是正八面體。

古希臘的畢達哥拉斯學派曾對五種小多面體作過專門研究，并将研究成果拿給柏拉頓學校教授。故而，西方數學界也将這五種正多面

體稱為柏拉頓立體。

推導證明

代數幾何法

頂點數V，面數F，棱數E

設正多面體的每個面是正n邊形，每個頂點有m條棱。棱數E應是面數F與n的積的一半(每兩面共用一條棱)，即

nF=2E--------------①

同時，E應是頂點數V與m的積的一半，即

mV=2E--------------②

由①、②，得

F=2E/n，V=2E/m，

代入歐拉公式V+F-E=2，

有

2E/m+2E/n-E=2

整理後，得1/m+1/n=1/2+1/E.

由于E是正整數，所以1/E>0。因此

1/m+1/n>1/2--------------③

說明m，n不能同時大于3，否則1/m+1/n<1/2，即

③不成立。另一方面，因為多邊形至少有三邊(n≥3)，而在每頂角處也至少有三邊(m≥3)。

但n>3，且r>3又是不可能的，因為那樣就要有

1/m+1/n<=1/4+1/4=1/2

故m和n中至少有一個等于3

當m=3時，因為1/n>1/2-1/3=1/6，n又是正整數，所以n隻能是3，4，5

同理n=3，m也隻能是3，4，5

所以有以下幾種情況：

n=3，m=3正四面體

n=4，m=3正六面體

n=3，m=4正八面體

n=5，m=3正十二面體

n=3，m=5正二十面體

幾何法

由于上述5種多面體确實可以用幾何方法作出，而不可能有其他種類的正多面體

所以正多面體隻有5種，證明：設正多面體的F個面都是正n邊形，V個頂點處的多面角都是m面角。因為每一個面有n條邊，每兩邊并成正多面體的一條棱，所以共有nF/2條棱，又因為從每一個頂點出發有m條棱，V個頂點共發出mV條，每條棱都計算了兩次，所以棱的總數是mV/2，因此nF/2=mV/2=E。 

相同表面積的四面體、六面體、正十二面體、以及正二十面體，其中體積最大的是：正二十面體。

名詞對偶性

把一個正多面體每個面的中心連起來，可以得到一個新的多面體。這稱為正多面體的對偶性。如果原來是正六面體，那麼得到的是正八面體;如果原來是正八面體，那麼得到的是正六面體.把這一性質稱為正六面體與正八面體對偶。正十二面體與正二十面體對偶。而正四面體則與自己對偶。

名詞公式

其中sqrt(x)表示x的算術平方根。

各多面體的體積如下：

V4=sqrt(2)/12*a^3

V6=a^3

V8=sqrt(2)/3*a^3

V12=(15+7sqrt(5))/4*a^3

V20=(15+5sqrt(5))/12*a^3

各多面體的表面積如下：

S4=sqrt(3)*a^2

S6=6*a^2

S8=2sqrt(3)*a^2

S12=（5sqrt(25+10sqrt(5))/4*a^2

S20=5sqrt(3)*a^2