基本介紹
在數學曆史上有很多公式都是歐拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年）發現的，它們都叫做歐拉公式，分散在各個數學分支之中。
公式介紹
複變函數
e^ix=cosx+isinx，e是自然對數的底，i是虛數單位。它将三角函數的定義域擴大到複數，建立了三角函數和指數函數的關系，它在複變函數論裡占有非常重要的地位。
e^ix=cosx+isinx的證明：
因為e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……
cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……
sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……
在e^x的展開式中把x換成±ix.
(±i)^2=-1, (±i)^3=∓i, (±i)^4=1 ……
e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓ix^3/3!+x^4/4!……
=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)
所以e^±ix=cosx±isinx
将公式裡的x換成-x，得到：
e^-ix=cosx-isinx，然後采用兩式相加減的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個也叫做歐拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：
e^iπ+1=0.這個恒等式也叫做歐拉公式，它是數學裡最令人着迷的一個公式，它将數學裡最重要的幾個數字聯系到了一起：兩個超越數：自然對數的底e，圓周率π，兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1，以及被稱為人類偉大發現之一的0。數學家們評價它是“上帝創造的公式”
那麼這個公式的證明就很簡單了，利用上面的e^±ix=cosx±isinx。那麼這裡的π就是x，那麼
e^iπ=cosπ+isinπ
=-1
那麼e^iπ+1=0
這個公式實際上是前面公式的一個應用。
分式
分式裡的歐拉公式：
a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)
當r=0,1時式子的值為0
當r=2時值為1
當r=3時值為a+b+c
三角公式
三角形中的歐拉公式：
設R為三角形外接圓半徑，r為内切圓半徑，d為外心到内心的距離，則：
d＾2=R＾2-2Rr
拓撲學說
拓撲學裡的歐拉公式：
V+F-E=X(P)，V是多面體P的頂點個數，F是多面體P的面數，E是多面體P的棱的條數,X(P)是多面體P的歐拉示性數。
如果P可以同胚于一個球面（可以通俗地理解為能吹脹而繃在一個球面上），那麼X(P)=2，如果P同胚于一個接有h個環柄的球面，那麼X(P)=2-2h。
X(P)叫做P的歐拉示性數，是拓撲不變量，就是無論再怎麼經過拓撲變形也不會改變的量，是拓撲學研究的範圍。
初等數論
歐拉φ函數：φ(n)是所有小于n的正整數裡，和n互素的整數的個數。n是一個正整數。
歐拉證明了下面這個式子：
如果n的标準素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中衆pj(j=1,2,……,m)都是素數，而且兩兩不等。則有
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)
利用容斥原理可以證明它。
物理學
衆所周知，生活中處處存在着摩擦力，歐拉測算出了摩擦力與繩索纏繞在樁上圈數之間的關系。現将歐拉這個頗有價值的公式列在這裡：
F=fe^ka
其中，f表示我們施加的力，F表示與其對抗的力，e為自然對數的底，k表示繩與樁之間的摩擦系數，a表示纏繞轉角，即繩索纏繞形成的弧長與弧半徑之比。
此外還有很多著名定理都以歐拉的名字命名。
平面幾何
設△ABC的外心為O，内心為I，外接圓半徑為R，内切圓半徑為r，又記外心、内心的距離OI為d，則有
（1）式稱為歐拉公式.
為了證明（1）式，我們現将它改成
（2）式左邊是點I對于⊙O的幂：過圓内任一點P的弦被P分成兩個部分，這兩個部分的乘積是一個定值，稱為P關于⊙O的幂。事實上，如圖3.21，如果将OI延長交圓于E、F，那麼
因此，設AI交⊙O于M，則
因此，隻需證明
或寫成比例式
為了證明（5）式，應當尋找兩個相似的三角形。一個以長IA、r為邊；另一個以長2R、MI為邊。前一個不難找，圖3.21中的△IDA就是，D是内切圓與AC的切點。後一個也必須是直角三角形，所以一邊是直徑ML，另一個頂點也應當在圓上。△MBL就滿足要求。
容易證明
因此（5）式成立，從而（1）式成立。
因為
，所以由歐拉公式得出一個副産品，即
拓撲學
空間中的歐拉公式
v+f-e=x(p)，v是多面體p的頂點個數，f是多面體p的面數，e是多面體p的棱的條數,x(p)是多面體p的歐拉示性數。 如果p可以同胚于一個球面（可以通俗地理解為能吹脹而繃在一個球面上），那麼x(p)=2，如果p同胚于一個接有h個環柄的球面，那麼x(p)=2-2h。 x(p)叫做p的歐拉示性數，是拓撲不變量，就是無論再怎麼經過拓撲變形也不會改變的量，是拓撲學研究的範圍。
在多面體中的運用：
簡單多面體的頂點數V、面數F及棱數E間有關系
這個公式叫歐拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數、面數、棱數特有的規律。
平面上的歐拉公式
其中V是圖形P的頂點個數，F是圖形P内的區域數，E是圖形的邊數。
在非簡單多面體中，歐位公式的形式為：
其中H指的是平面上不完整的個數，而C指的是獨立的多面體的個數，G指的是多面體被貫穿的個數。
證明
（1）把多面體（圖中①）看成表面是薄橡皮的中空立體。
（2）去掉多面體的一個面，就可以完全拉開鋪在平面上而得到一個平面中的直線形，像圖中②的樣子。假設F′，E′和V′分别表示這個平面圖形的（簡單）多邊形、邊和頂點的個數，我們隻須證明F′-E′+V′=1。
（3）對于這個平面圖形，進行三角形分割，也就是說，對于還不是三角形的多邊形陸續引進對角線，一直到成為一些三角形為止，像圖中③的樣子。每引進一條對角線，F′和E′各增加1，而V′卻不變，所以F′-E′+V′不變。因此當完全分割成三角形的時候，F′-E′+V′的值仍然沒有變。有些三角形有一邊或兩邊在平面圖形的邊界上。
（4）如果某一個三角形有一邊在邊界上，例如圖④中的△ABC，去掉這個三角形的不屬于其他三角形的邊，即AC，這樣也就去掉了△ABC。這樣F′和E′各減去1而V′不變，所以F′-E′+V′也沒有變。
（5）如果某一個三角形有二邊在邊界上，例如圖⑤中的△DEF，去掉這個三角形的不屬于其他三角形的邊，即DF和EF，這樣就去掉△DEF。這樣F′減去1，E′減去2，V′減去1，因此F′-E′+V′仍沒有變。
（6）這樣繼續進行，直到隻剩下一個三角形為止，像圖中⑥的樣子。這時F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。
（7）因為原來圖形是連在一起的，中間引進的各種變化也不破壞這事實，因此最後圖形還是連在一起的，所以最後不會是分散在向外的幾個三角形，像圖中⑦那樣。
（8）如果最後是像圖中⑧的樣子，我們可以去掉其中的一個三角形，也就是去掉1個三角形，3個邊和2個頂點。因此F′-E′+V′仍然沒有變。
統計學
特征函數用歐拉公式：随機變量X的特征函數定義為
