性質
基本知識
① （1）；
② （a）；
③負數與零無對數.
④ =1；
⑤-；
恒等式及證明
a^log(a)(N)=N (a>0 ，a≠1）推導：log(a) (a^N)=N恒等式證明
在a>0且a≠1，N>0時
設：當log(a)(N)=t，滿足(t∈R)
則有a^t=N;
a^(log(a)(N))=a^t=N;
證明完畢
運算法則
①
②
③
④
(M,N∈R+)
如果 ，則m為數a的自然對數，即 ，e=2.718281828…為自然對數
的底，其為無限不循環小數。定義： 若 則
基本性質：
1、
2、
3、
4、
5、
6、
推導：
1、因為 ，代入則 ，即 。
2、MN=M×N
由基本性質1(換掉M和N)
由指數的性質
又因為指數函數是單調函數，所以
3、與（2）類似處理 M/N=M÷N
由基本性質1(換掉M和N)
由指數的性質
又因為指數函數是單調函數，所以
4、與（2）類似處理
由基本性質1(換掉M)
由指數的性質
又因為指數函數是單調函數，所以
或
由基本性質2（展開 ，如圖1所示）
基本性質4推廣
推導如下： 由換底公式（見下面）[ 是 ，e稱作自然對數的底]
換底公式的推導： 設， 則
其中，
得：
由基本性質4可得
再由換底公式
換底公式
推導一：
設，則 ①
對①取以a為底的對數，有：②
對①取以c為底的對數，有： ③
③/②，得：∴
注：表示以a為底b的對數。
換底公式拓展：
以e為底數和以a為底數的公式代換：
推導公式
求導數
其中，中的a為底數，x為真數；
特殊的即時有
