發展簡史
代數基本定理在代數乃至整個數學中起着基礎作用。最早該定理由德國數學家羅特于1608年提出。據說，關于代數學基本定理的證明，現有200多種證法。迄今為止，該定理尚無純代數方法的證明。大數學家J.P.塞爾曾經指出：代數基本定理的所有證明本質上都是拓撲的。美國數學家John Willard Milnor在數學名著《從微分觀點看拓撲》一書中給了一個幾何直觀的證明，但是其中用到了和臨界點測度有關的sard定理。複變函數論中，對代數基本定理的證明是相當優美的，其中用到了很多經典的複變函數的理論結果。
該定理的第一個證明是法國數學家達朗貝爾給出的，但證明不完整。接着，歐拉也給出了一個證明，但也有缺陷，拉格朗日于1772年又重新證明了該定理，後經高斯分析，證明仍然很不嚴格的。
代數基本定理的第一個嚴格證明通常認為是高斯給出的(1799年在哥廷根大學的博士論文）高斯後來又給出了另外三個證法，其中第四個證法是他71歲公布的，并且在這個證明中他允許多項式的系數是複數
定理定義
代數學基本定理說明，任何複系數一元次多項式方程在複數域上至少有一根。
由此推出,次複系數多項式方程在複數域内有且隻有個根（重根按重數計算）。
有時這個定理表述為：任何一個非零的一元次複系數多項式，都正好有個複數根。這似乎是一個更強的命題，但實際上是“至少有一個根”的直接結果，因為有一個根，隻要不斷把多項式除以，即可從有一個根推出有個根。
盡管這個定理被命名為“代數基本定理”，但它還沒有純粹的代數證明，許多數學家都相信這種證明不存在。另外，它也不是最基本的代數定理；因為在那個時候，代數基本上就是關于解實系數或複系數多項式方程，所以才被命名為代數基本定理。
最小模方法
這一方法是阿爾岡使用的方法.它是純粹實分析的,沒有使用複變函數論,而隻用到了複數的四則運算和開根運算。
設是複系數次多項式.不妨假定不是它的零點.顯然函數在全複平面上下有界.通過三角不等式容易得出:當充分大時一定有
于是當趨于無窮時趨于無窮.故|一定在某點達到它的下确界;這是證明中第一次使用實數域的完備性.可以重寫多項式為
如果,那麼設的幅角為,并命構造複數是證明中第二次使用實數域的完備性.于是當充分小時就有:
矛盾.于是必然有
定理推廣
設為d維連續局部鞍，為自然數，平方變差過程交互變差過程.若令.則過程為d維Brown運動。
定理意義
有時這個定理表述為：任何一個非零的一元次複系數多項式，都正好有n個複數根。這似乎是一個更強的命題，但實際上是“至少有一個根”的直接結果，因為不斷把多項式除以它的線性因子，即可從有一個根推出有個根。
盡管這個定理被命名為“代數基本定理”，但它還沒有純粹的代數證明，許多數學家都相信這種證明不存在。另外，它也不是最基本的代數定理；因為在那個時候，代數基本上就是關于解實系數或複系數多項式方程，所以才被命名為代數基本定理。
