發展簡史
皮埃爾·德·費馬于1636年發現了這個定理。在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的書寫方式。在他的信中費馬還提出a是一個素數的要求，但是這個要求實際上是不必要的。
1736年，歐拉出版了一本名為“一些與素數有關的定理的證明”（拉丁文：Theorematum Quorundam ad Numeros PRIMOS Spectantium Demonstratio）的論文中第一次提出證明，但從萊布尼茨未發表的手稿中發現他在1683年以前已經得到幾乎是相同的證明。
有些學家獨立制作相關的假說（有時也被錯誤地稱為中國的假說），當成立時，是素數。這是費馬小定理的一個特殊情況。然而，這一假說的前設是錯的：例如，341，而341=11×31是一個僞素數。所有的僞素數都是此假說的反例。
如上所述，中國猜測僅有一半是正确的。符合中國猜測但不是素數的數被稱為僞素數。
更極端的反例是卡邁克爾數：假設與561互質，則560被561除都餘1。這樣的數被稱為卡邁克爾數數，561是最小的卡邁克爾數。Korselt在1899年就給出了卡邁克爾數的等價定義，但直到1910年才由卡邁克爾（Robert Daniel Carmichael）發現第一個卡邁克爾數：561。1994年William Alford、Andrew Granville及Carl Pomerance證明了卡邁克爾數有無窮多個。
定理定義
簡稱費馬定理.初等數論的重要定理之一.該定理斷言:若為素數,則.該定理是數論中歐拉定理的一個特殊情況,因為在歐拉定理中當是素數時,就得到費馬定理。
驗證推導
引理1
若為任意3個整數為正整數，且，則當時，有。
證明：可得可得。因為即互質，可以約去，可得。
引理2
設是一個整數且是一個整數且。如果是模的一個完全剩餘系，則也構成模的一個完全剩餘系。
證明：若存在2個整數和同餘即，根據引理1則有。根據完全剩餘系的定義可知這是不可能的，因此不存在2個整數和同餘。
所以構成模的一個完全剩餘系。
構造素數的完全剩餘系
因為，由引理2可得
也是的一個完全剩餘系。由完全剩餘系的性質，
即
易知，同餘式兩邊可約去，得到
這樣就證明了費馬小定理。
定理意義
費馬小定理是初等數論四大定理（威爾遜定理，歐拉定理（數論中的歐拉定理），中國剩餘定理(又稱孫子定理），費馬小定理）之一，在初等數論中有着非常廣泛和重要的應用。實際上，它是歐拉定理的一個特殊情況（即
Python程式碼
>>> n =221
>>>a = 38
>>>pow(a ,n -1,n)
1
"""221 may be a prime number."""
import random
def isprime(n,k=128):
if n<2:
return False
for _ in range(k):
a = random.randrange(1,n)
if pow(a,n-1,n)!=1:
return False
return True
