曆史發展
起源
在1920年代與1930年代，理論量子物理學者大緻分為兩個陣營。第一個陣營的成員主要為路易·德布羅意和埃爾溫·薛定谔等等，他們使用的數學工具是微積分，他們共同創建了波動力學。第二個陣營的成員主要為維爾納·海森堡和馬克斯·玻恩等等，使用線性代數，他們建立了矩陣力學。後來，薛定谔證明這兩種方法完全等價。
德布羅意于1924年提出的德布羅意假說表明，每一種微觀粒子都具有波粒二象性。電子也不例外，具有這種性質。電子是一種波動，是電子波。電子的能量與動量分别決定了它的物質波頻率與波數。既然粒子具有波粒二象性，應該會有一種能夠正确描述這種量子特性的波動方程，這給予了埃爾溫·薛定谔極大的啟示，他因此開始尋找這波動方程。薛定谔參考威廉·哈密頓先前關于牛頓力學與光學之間的類比這方面的研究，在其中隐藏了一個奧妙的發現，即在零波長極限，物理光學趨向于幾何光學；也就是說，光波的軌道趨向于明确的路徑，而這路徑遵守最小作用量原理。哈密頓認為，在零波長極限，波傳播趨向于明确的運動，但他并沒有給出一個具體方程來描述這波動行為，而薛定谔給出了這方程。他從哈密頓-雅可比方程成功地推導出薛定谔方程。他又用自己設計的方程來計算氫原子的譜線，得到的答案與用玻爾模型計算出的答案相同。他将這波動方程與氫原子光譜分析結果，寫為一篇論文，1926年，正式發表于物理學界。從此，量子力學有了一個嶄新的理論平台。
薛定谔給出的薛定谔方程能夠正确地描述波函數的量子行為。那時，物理學者尚未能解釋波函數的涵義，薛定谔嘗試用波函數來代表電荷的密度，但遭到失敗。1926年，玻恩提出概率幅的概念，成功地解釋了波函數的物理意義。可是，薛定谔本人不贊同這種統計或概率方法，和它所伴随的非連續性波函數坍縮，如同愛因斯坦認為量子力學隻是個決定性理論的統計近似，薛定谔永遠無法接受哥本哈根诠釋。在他有生最後一年，他寫給玻恩的一封信内，薛定谔清楚地表明了這意見。
1927年，道格拉斯·哈特裡（Douglas Hartree）與弗拉基米爾·福克（Vladimir Fock）在對于多體波函數的研究踏出了第一步，他們發展出哈特裡－福克方程來近似方程的解。這計算方法最先由哈特裡提出，後來福克将之加以改善，能夠符合泡利不相容原理的要求。
薛定谔方程不具有洛倫茲不變性，無法準确給出符合相對論的結果。薛定谔試着用相對論的能量動量關系式，來尋找一個相對論性方程，并且描述電子的相對論性量子行為。但是這方程給出的精細結構不符合阿諾·索末菲的結果，又會給出違背量子力學的負概率和怪異的負能量現象，他隻好将這相對論性部分暫時擱置一旁，先行發表前面提到的非相對論性部分。
1926年，奧斯卡·克萊因（Oskar Klein）和沃爾特·戈爾登（Walter Gordon）将電磁相對作用納入考量，獨立地給出薛定谔先前推導出的相對論性部分，并且證明其具有洛倫茲不變性。這方程後來稱為克萊因-戈爾登方程。
1928年，保羅·狄拉克最先成功地統一了狹義相對論與量子力學，他推導出狄拉克方程，适用于電子等等自旋為1/2的粒子。這方程的波函數是一個旋量，擁有自旋性質。
研究過程
在量子力學中，為了定量地描述微觀粒子的狀态，量子力學中引入了波函數 ，并用Ψ表示。一般來講，波函數是空間和時間的函數，并且是複函數，即Ψ=Ψ（x，y，z，t）。将愛因斯坦的“鬼場”和光子存在的概率之間的關系加以推廣，玻恩假定Ψ*Ψ就是粒子的概率密度，即在時刻t，在點（x,y,z）附近單位體積内發現粒子的概率。波函數Ψ的絕對值的平方因此就稱為概率幅。
電子在屏上各個位置出現的概率密度并不是常數：有些地方出現的概率大，即出現幹涉圖樣中的“亮條紋”；而有些地方出現的概率卻可以為零，沒有電子到達，顯示“暗條紋”。
由此可見，在電子雙縫幹涉實驗中觀察到的，是大量事件所顯示出來的一種概率分布，這正是玻恩對波函數物理意義的解釋，即波函數模的平方對應于微觀粒子在某處出現的概率密度（probability density）：
即是說，微觀粒子在各處出現的概率密度才具有明顯的物理意義。
據此可以認為波函數所代表的是一種概率的波動。這雖然是人們對物質波所能做出的一種理解，但是波函數概念的形成正是量子力學完全擺脫經典觀念、走向成熟的标志；波函數和概率密度，是構成量子力學理論的最基本的概念。
概率幅滿足于叠加原理，即：ψ12=ψ1+ψ2。
波函數ψ(r,t)是坐标和時間t的複函數。ψ(r,t)的絕對值二次方乘上r 處的體積元dxdydz與粒子在這個體積元中出現的幾率p（r,t）成比例。
p(r,t)=с|ψ(r,t)dxdydz， с是比例常數。
一個微觀系統的波函數，滿足薛定谔方程。處于具體條件下的微觀系統的波函數，可由相應的薛定谔方程解出。
由|Ф(r,t)|=|A|；常量說明自由粒子在空間各點出現的幾率相同。
把波函數的絕對值二次方解釋為與粒子在單位體積内出現的幾率成比例是M.玻恩在E.薛定谔建立波動力學後提出的，被稱為是波函數的統計诠釋。波函數所表示的波也常被稱為幾率波。
由于粒子肯定存在于空間中，因此，将波函數對整個空間積分，就得出粒子在空間各點出現幾率之和，結果應等于1。
可以用波函數代替ψ（rr,t）作為波函數， 那麼波函數波函數就滿足如圖1所示條件。
這個條件稱為波函數的歸一化條件，滿足這個條件的波函數ψ（r,t）稱為歸一化波函數。
數學表達
[1]量子力學假設一：對于一個微觀體系，他的任何一個狀态都可以用一個坐标和時間的連續、單值、平方可積的函數Ψ來描述。Ψ是體系的狀态函數，它是所有粒子的坐标函數，也是時間函數。
（Ψ）Ψdτ為時刻t及在體積元dτ内出現的概率。Ψ是歸一化的：∫（Ψ）Ψdτ=1式中是對坐标的全部變化區域積分。（注：（Ψ）指Ψ的共厄複數）
[2]量子力學假設二：體系的任何一個可觀測力學量A都可與一個線性算符對應，算符按以下規律構成：
（1）坐标q和時間t對應的算符為用q和t來相乘。
（2）與q相關聯的動量p的算符{p}=-i(h/(2π))(d/dq)(注：d指偏微分，以後不特别說明都指偏微分)
（3）對任一力學量{A}先用經典方法寫成q,p,t的函數A=A（q,p,t）則對應的算符為：{A}=A（q,-i（h/（2π））（d/dq）,t）
則：能量算符為：{H}=-h^2/（8π^2m）△+V（其中△為拉普拉斯算符）
△=d^2/dx^2+d^2/dy^2+d^2/dz^2（直角坐标）
△=（1/r^2）d（r^2d/dr）/dr+（1/（r^2sinθ））d（sinθd/dθ）/dθ+（1/（r^2sin^2θ））d^2/dφ^2（球坐标）
角動量算符：
{L[x]}=-i（h/（2π））（yd/dz-zd/dy）
{L[y]}=-i（h/（2π））（zd/dx-xd/dz）
{L[z]}=-i（h/（2π））（xd/dy-yd/dx）
L^2={L[x]}^2+{L[y]}^2+{L[z]}^2
[3]量子力學假設三：若某一力學量A的算符{A}作用于某一狀态函數ψ後，等于一常數a乘以ψ，即{A}ψ=aψ則稱力學量A對ψ描述的狀态有确定的數值a。a稱的本征值，ψ稱的本征波函數，方程{A}ψ=aψ稱的本征方程。顯然，對能量來說，{H}ψ=Eψ即為定态的薛定鄂方程。含時的薛定鄂方程為：{H}Ψ=ih/（2π）dΨ/dt
[4]量子力學假設四：若ψ[1]，ψ[2]…ψ[n]為某一微觀體系的可能狀态，則他們的線性組合∑Cψ也是該體系的可能狀态，稱ψ的這一性質為疊加原理。
（1）有本征值力學量的平均值：設ψ對應本征值為a，體系處于狀态ψ，若ψ已歸一化則：
a（平均值）=∫（ψ）{A}ψdτ=∑|C|^2a
（2）無本征值力學量的平均值：
F（平均值）=∫（ψ）{F}ψdτ
則定态中所有的力學量平均值都不随時間變化。
如圖2：為S亞層的軌道3s1電子經過10萬次影象合成的波函數圖象。
概念诠釋
波函數是概率波。其模的平方代表粒子在該處出現的概率密度。
既然是概率波，那麼它當然具有歸一性。即在全空間的積分。
然而大多數情況下由薛定谔方程求出的波函數并不歸一，要在前面乘上一個系數N，即把它帶入歸一化條件,解出N。至此，得到的才是歸一化之後的波函數。注意N并不唯一。波函數具有相幹性，具體地說，兩個波函數疊加，概率并非變成12+12=24倍，而是在有的地方變成（1+1）2=4倍，有的地方變成（1-1）2=0，具體取決于兩個波函數的相位差。聯想一下光學中的楊氏雙縫實驗，不難理解這個問題。
重要概念
力學量
在量子力學中，可觀測的力學量A以算符的形式出現，代表對波函數的一種運算。
例如，在坐标表象下，動量算符對應的A稱為力學量的本征值，ψ稱為力學量的本征态。如果測量位于的本征态ψ上的力學量A，那麼它的值是唯一确定的。
定态問題
在量子力學中，一類基本的問題是哈密頓算符不是時間的函數的情況。這時，可以分解成一個隻與空間有關的函數和一個隻與時間有關的函數乘積，即把它帶入薛定谔方程就會得到。
