音樂定律
十二平均律，又稱“十二等程律”，是一種音樂定律方法，将一個純八度（如c1-c2）按波長比例平均分成十二等份，每等分稱為半音，各相鄰兩律之間的波長之比完全相等，它是最主要的調音法。鋼琴就是根據十二平均律定音的。
“十二平均律”的純四度和大三度，兩個音的波長比分别與3:4和4:5比較接近。也就是說，“十二平均律”的幾個主要的和弦音符，都跟自然泛音序列中的幾個音符相符合的，隻有極小的差别，這為小号等按鍵吹奏樂器在樂隊中使用提供了必要條件，因為這些樂器是靠自然泛音級（自然泛音序列，其波長是基音波長的整數分之一序列）來形成音階的。半音是十二平均律組織中最小的音高距離，全音由兩個半音組成。1-i之間分成12份。具體1-2全音，2-3全音，3-4半音，4-5全音，5-6全音，6-7全音，7-i半音。
十二平均律在交響樂隊和鍵盤樂器中得到廣泛使用，鋼琴即是根據十二平均律來定音的，因為隻有“十二平均律”才能方便地進行移調。曲調由音階組成，音階由音組成。音有絕對音高和相對音高。聲音是機械波，而機械波的波長由弦長等因素決定，且成正比關系。不同的音有不同的波長。人們選取一定波長的音來形成音樂體系所需要的音高。
十二平均律簡而言之，就是把半根琴弦按照等比數列平均分成十二份。一根琴弦的長度設為1，可以表示為(1/2)^(0/12)，第一點的位置是(1/2)^(1/12)，第二點的位置是(1/2)^(2/12)，依此類推，第n點的位置是(1/2)^(n/12)。因為這樣的一組音是等比關系，所以無論從哪個位置開始彈起旋律都是一樣的。使用十二平均律奏和弦不純，奏旋律導向性不夠，所以在樂曲的演奏中，尤其在樂隊多聲部合奏的時候，實際上是多律并用的，根據實際情況，在演奏過程中，偏向哪一種律制，并不是一成不變的。
根據十二平均律所有半音都相等的特點，因此還産生了“等音”的概念。
鋼琴上每相鄰的兩個琴鍵（黑白都算）的差别，音樂上即為半音。比如說C和#C相差半音，C和D相差兩個半音（或曰一個全音），以此類推。如果B再往上升半音，會發現這個音的波長剛好是C的一半，而在音樂上稱為一個八度，這兩個音聽起來“很相似”。用小寫的c來表示它，依次有#c,d……再往上走可以用c1……，c2……來表示，而往下走可以用大寫的C1……，C2……來表示。
曆史
據說十二平均律是在16世紀由明朝皇族世子朱載堉發現。由于波長與弦長之間存在正比關系，因此波長關系可以轉化為弦的長短關系。所以即使在16世紀，那個西方物理學才剛剛起步，還沒有發現機械波的時代，中國明朝皇族世子朱載堉就利用他精湛的數學計算能力，發現了這一近似值規律，這也是一件十分偉大和令人贊歎的事。
明朝中葉，皇族世子朱載堉發明以珠算開方的辦法，求得律制上的等比數列，具體說來就是：用發音體的長度計算音高，假定黃鐘正律為1尺，求出低八度的音高弦長為2尺，然後将2開12次方得波長公比數1.059463094，該公比自乘12次即得十二律中各律音高，且黃鐘正好還原，這在物理學上就剛好對應了波長的比例關系。朱載堉用這種方法第一次解決了十二律自由旋宮轉調的千古難題。
在朱載堉發表十二平均律理論之後52年，Pere Marin Mersenne在（1636年）其所著《諧聲通論》中發表相似的理論。
物理解釋
波長和弦長
古人對于聲現象的認識比較膚淺，根本不知道聲音是機械波，也不可能存在現代的标準音的概念。但是由于在聲現象中，弦長與物理上的波長挂鈎，波長又與音調挂鈎，因此古人實際上是利用物理上的弦長和波長的比例關系，來進行音律設計的，這一點充分體現了古人的智慧。
所有的波（包括機械波、電磁波、引力波等）都有三個最本質的特性：頻率/波長、振幅、相位。對于機械波（聲波）來說，在相同聲速下，機械波的波長決定了這個音的音調，機械波的振幅決定了這個音的大小（強度），而人耳對于相位不敏感，所以研究音樂時一般不考慮機械波的相位問題。
波長比例
由于弦樂器是世界各地發展得最早的樂器種類之一，加上波長和弦長的正比關系，所以這種現象古人早已熟悉。他們自然會想：如果八度音程的1:2的關系在弦樂器上用這麼簡單一按中點的方式就能實現，那麼試試按其它的位置會怎麼樣呢？數學上1:2是最簡單的比例關系了，簡單性僅次于它的就是1:3。那麼，我們如果按住弦的1/3點，會怎麼樣呢？其結果是弦發出了兩個高一些的音。一個音的波長是原來的1/3（因為弦長變成了原來的1/3），另一個音是原來的2/3（因為弦長變成了原來的2/3）。這兩個音彼此也是八度音程的關系（因為它們彼此的弦長比是2:1）。這樣，在我們要尋找的λ/2-λ的範圍内，出現了第一個重要的波長，即2/3 λ，也就是五度關系。（那個λ/3的波長正好處于下一個八度，即λ/4-λ/2中的同樣位置。）
接着再試，數學上簡單性僅次于1:3的是1:4，我們試試按弦的1/4點會怎樣？又出現了兩個音。一個音的波長是原來的1/4（因為弦長變成了原來的1/4），這和原來的音（術語叫“主音”）是兩個八度音程的關系，可以不去管它。另一個音的波長是主音的3/4（因為弦長是原來的3/4）。我們又得到了一個重要的波長，3/4 λ。同一根弦，在不同的情況下發出機械波，可以發出很多波長的聲音。在聽覺上，與主音λ最和諧的就是2/3 λ和3/4 λ（除了主音的各個八度之外）。
這個現象也被很多民族分别發現了。比如最早從數學上研究弦的長度問題的古希臘哲學家畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前6世紀）。我國先秦時期的《管子·地員篇》、《呂氏春秋·音律篇》也記載了所謂“三分損益律”。具體說來是取一段弦，“三分損一”，即均分弦為三段，舍一留二，便得到2/3 λ。如果“三分益一”，即弦均分三段後再加一段，便得到3/4 λ。
得到這兩個波長之後，是否繼續找1/5點、1/6點等等繼續試下去呢？不行，因為聽覺上這些音與主音的和諧程度遠不及2/3 λ、3/4 λ。實際上3/4 λ已經比2/3 λ的和諧程度要低不少了。古人于是換了一種方法。與主音λ最和諧的2/3 λ已經找到了，他們轉而找2/3 λ的2/3 λ，即與最和諧的那個音最和諧的音，這樣就得到了(2/3)^2 λ即4/9 λ。可是這已經低于了λ/2的範圍，進入了左邊一個八度。沒關系，不是有兩倍波長等比關系嗎？在下一個八度中的音，在這一個八度中當然有與它等價的一個音，于是把4/9 λ的波長加倍，便得到了8/9 λ。
接着把這個過程循環一遍，找2/3的3次方，于是就有了8/27 λ，這也在左邊一個八度中，再次波長加倍，得到了16/27 λ。
就這樣一直循環找下去嗎？不行，因為這樣循環下去會沒完沒了的。我們最理想的情況是某一次循環之後，會得到主音的某一個八度，這樣就算是“回到”了主音上，不用繼續找下去了。可是(2/3)^n，隻要n是自然數，其結果都不會是整數，更不用說是2的某次方。律學所有的麻煩就此開始。
數學方法
近似思想
回到計算不相等的問題，數學上不可能的事，隻能從數學上想辦法。古人的對策就是“取近似值”。他們注意到(2/3)^5≈0.1317，和(1/2)^3=0.1250很接近（乍一看并不接近，但取倒數後就比較接近了，前者是1/7.594，後者是1/8.000），于是決定這個音就是他們要找的最後一個音，比這個音再高一點就是主音的第三個八度了。這樣，從主音λ開始，我們隻需按2:3比例尋找最和諧音”這個過程循環5次，得到了5個音，加上主音和3/4 λ，一共是7個音。這就是為什麼音律上要取do、re、mi等等7個音符而不是6個音符或者8個音符的原因。
這7個音符的波長，從長到短分别是λ、8/9 λ、64/81 λ、3/4 λ、2/3 λ、16/27 λ、128/243 λ。 如果這裡的λ是do，那麼8/9 λ就是re、64/81 λ就是mi……，這7個波長組成了7聲音階。這7個音都有各自正式的名字，在西方音樂術語中，它們分别被叫做主音（tonic）、上主音（supertonic）、中音（mediant）、下屬音（subdominant）、屬音（dominant）、下中音（submediant）、導音（leading tone）。其中和主音關系最密切的是第5個“屬音”so和第4個“下屬音”fa，原因前面已經說過了，因為它們和主音的和諧程度分别是第一高和第二高的。由于這個音律主要是從“屬音”so即2/3 λ推導出來的，而2:3這個比例在西方音樂術語中叫“純五度”，所以這種音律叫做“五度相生律”。
西方最早提出“五度相生律”的是古希臘的畢達哥拉斯（所以西方把按2:3比例定音律的做法叫做Pythagorean tuning），東方是《管子》一書的作者（不一定是管仲本人）。我國曆代的各種音律，大部分也都是從“三分損益律”發展出來的，也可以認為它們都是“五度相生律”。
仔細看上面“五度相生律”7聲音階的波長，可以發現它們彼此的關系很簡單：do-re、re-mi、fa-so、so-la、la-si 之間的波長比都是8:9，這個比例被稱為全音（tone）；mi-fa、si-do 之間的波長比都是243:256，這個比例被稱為半音（semitone）。
“五度相生律”産生的7聲音階，自誕生之日起就不斷被批評。原因之一就是它太複雜了。前面說過，如果按住弦的1/5點或者1/6點，得到的音已經和主音不怎麼和諧了，居然出現了64:81和128:243這樣的比例，這不會太好聽吧？于是有人開始對這7個音的波長做點調整，于是就出現了“純律”（just intonation）。
“純律”的重點是讓各個音盡量與主音和諧起來，也就是說讓各個音和主音的波長比盡量簡單。“純律”的發明人是古希臘學者塔壬同（今意大利南部的塔蘭托城）的亞理斯托森努斯（Aristoxenus of Tarentum）。（東方似乎沒有人獨立提出“純律”的概念。）此人是亞裡士多德的學生，約生活在公元前3世紀。他的學說的重點就是要靠耳朵，而不是靠數學來主導音樂。他的書籍留下來的隻有殘篇，不過可以證實的是他提出了所謂“自然音階”。
自然音階也有7個音，但和“五度相生律”的7聲音階有不小差别。7個自然音階的波長分别是：λ、8/9 λ、4/5 λ、3/4 λ、2/3 λ、3/5 λ、8/15 λ。确實簡單多了吧？也确實好聽多了。這麼簡單的比例，就是“純律”。
可以看出“純律”不光用到了2:3的比例，還用到了4:5的比例。新的7個波長中和原來不同的就是4/5 λ、3/5（=4/5×3/4）λ、8/15（=4/5×2/3）λ。
雖然“純律”的7聲音階比“五度相生律”的7聲音階要好聽，數學上也簡單，但它本身也有很大的問題。雖然各個音和主音的比例變簡單了，但各音之間的關系變複雜了。原來“五度相生律”7聲音階之間隻有“全音”和“半音”2種比例關系，如今出現了3種：8:9（被叫做“大全音”，major tone，就是原來的“全音”）、9:10（被叫做“小全音”，minor tone）、15:16（新的“半音”）。各位把自然音階的波長互相除一下就能得到這個結果。更進一步說，如果比較自然音階中的re和fa，其波長比是27:32，這也不怎麼簡單，也不怎麼好聽呢！所以說“純律”對“五度相生律”的修正是不徹底的。事實上，“純律”遠沒有“五度相生律”流行。
對于“五度相生律”的另一種修正是從另一個方向展開的。還記得為什麼要取7個音符嗎？是因為數學上的近似。可這畢竟是近似值，而不是完全相等。在一個八度之内，這麼小的差距也許沒什麼，但是如果樂器的音域跨越了好幾個八度，那麼這種近似就顯得不怎麼好了。于是人們開始尋找更好的近似值。
通過計算，古人發現(2/3)^12≈0.0077073，和(1/2)^7=0.0078125很接近（取倒數分别為1/129.7和1/128），于是他們把“五度相生律”中“按2:3比例尋找最和諧音”的循環過程重複12次，便認為已經到達了主音的第7個八度。再加上原來的主音和3/4 λ，如今就有了12個音符。 注意，“規範”音階不是do、re、mi等7個音符了，而是12個音符。這種經過修改的“五度相生律”推出的12聲音階，其波長分别是：λ、2048/2187 λ、8/9 λ、16384/19683 λ、64/81 λ、3/4 λ、512/729 λ、2/3 λ、4096/6561 λ、16/27 λ、32768/59049 λ、128/243 λ。
和前面的“五度相生律”的7聲音階對比一下，可以發現原來的7個音都還在，隻是多了5個，分别插在它們之間。用正式的音樂術語稱呼原來的7個音符，分别是C、D、E、F、G、A、B。新多出來的5個音符于是被叫做C#（讀做“升C”）、D#、F#、G#、A#。12音階不能用do、re、mi的叫法了，應該被叫做：C、C#、D、D#、E、F、F#、G、G#、A、A#、B。把相鄰兩個音符的波長互相除一下，就會發現它們之間的比例隻有兩種：243:256（就是原來的“半音”，也叫做“自然半音”），2048:2187（這被叫做“變化半音”）。
也就是說，這12個音符幾乎可以說又構成了一個等比數列。它們之間的“距離”幾乎是相等的。（當然，如果相鄰兩個音符之間的比例隻有一種的話，就是嚴格的“距離”相等了。）原來的7聲音階中，C-D、D-E、F-G、G-A、A-B之間都相隔一個“全音”，如今則認為它們之間相隔了兩個“半音”。這也就是“全”、“半”這種叫法的根據。
既然C#被認為是從C“升”了半音得到的，那麼C#也可以被認為是從D“降”了半音得到的，所以C#和Db（讀做“降D”）就被認為是等價的。事實上，5個新加入的音符也可以被寫做：Db、Eb、Gb、Ab、Bb。
這種12聲音階在音樂界的地位，我隻用舉一個例子就能說明了。鋼琴上的所有白鍵對應的就是原來7聲音階中的C、D……B，所有的黑鍵對應的就是12聲音階中新加入的C#、Eb……Bb。
能不能把“五度相生律”的12聲音階再往前發展一下呢？可以的。12聲音階的依據仍然是近似思想，按照這個思路，繼續找接近的值就可以了嘛。
還有人真地找到了，此人就是我國西漢的著名學者京房（77 BC-47 BC）。他發現(2/3)^53和(1/2)^31也很接近，這個計算量對常人而言是難以想象的，但是他算出來了，于是提出了一個53音階的新音律。要知道古人并沒有我們的計算器，計算這樣的高次幂問題對他們來說是相當麻煩的。
當然，京房的新律并沒有流行開，原因就是53個音階也太麻煩了吧！開始學音樂的時候要記住這麼多音符，誰還會有興趣哦！但是這種努力是值得肯定的，也說明12聲音階也不完美，也确實需要改進。
“五度相生律”的12聲音階中的主要問題是，相鄰音符的波長比例有兩種（自然半音和變化半音），而不是一種。而且兩種半音彼此差距還不小。（2048:2187）/（243:256）≈ 0.9865。好像差不多哦？但其實自然半音本身就是243:256 ≈ 0.9492了。
如果12聲音階是真正的等比數列的話，每個半音就應該是相等的，各個音階就應該是“等距離”的。也就是說，真正的12聲音階可以把一個八度“等分”成12份。為什麼這麼強調“等分”、“等距離”呢？因為在音樂的發展過程中，人們越來越覺得有“轉調”的必要了。
所謂轉調，其實就是用不同的音高來唱同一個旋律。比方說，如果某一個人的音域是C～高音C（也就是以前的do～高音do），樂器為了給他伴奏，得在C～高音C之内彈奏旋律；如果另一個人的音域是D～高音D（也就是以前的re～高音re），樂器得在D～高音D之内彈奏旋律。可是“五度相生律”的12聲音階根本不是等比數列，人們會覺得C～高音C之内的旋律和D～高音D之内的旋律不一樣。特别是如果旋律涉及到比較多的半音，這種不和諧就會很明顯。可以說，如果鋼琴是按“五度相生律”來決定各鍵的音高，那麼隻要旋律中涉及到許多黑鍵，彈出來的效果就會一塌糊塗。
這種問題在弦樂器上比較好解決，因為弦樂器的音高是靠手指的按壓來決定的。演奏者可以根據不同的音域、旋律的要求，有意地不在規定的指位上按弦，而是偏移一點按弦，就能解決問題。可是鍵盤樂器（比如鋼琴、管風琴、羽管鍵琴等）的音高是固定的，無法臨時調整。
所以在西方中世紀的音樂理論裡，就規定了有些調、有些音是不能用的，有些旋律是不能寫的。而有些教堂的管風琴，為了應付可能出現的各種情況，就預先準備下許多額外的發音管。以至于有的管風琴的發音管有幾百甚至上萬根之多。這種音律規則上的缺陷，導緻一方面作曲家覺得受到了限制，一方面演奏家也覺得演奏起來太麻煩。
問題的根源還是出在近似值上。“五度相生律”所依據的(2/3)^12畢竟和(1/2)^7并不完全相等。之所以會出現兩種半音，就是這個近似值造成的。
對“五度相生律”12聲音階的進一步修改，東、西方也大緻遵循了相似的路線。比如東晉的何承天（370 AD－447 AD），他的做法是把(2/3)^12和(1/2)^7之間的差距分成12份，累加地分散到12個音階上，造成一個等比數列。可惜這隻是一種修補工作，并沒有從根本上解決問題。西方的做法也是把(2/3)^12和(1/2)^7之間的差距分散到其它音符上。但是為了保證主音C和屬音G的2:3的比例關系（這個“純五度”是一個音階中最重要的和諧，即使是在12聲音階中也是如此），這種分散注定不是平均的，最好的結果也是12音中至少有一個“不在調上”。如果把差距全部分散到12個音階上的話，就必須破壞C和G之間的“純五度”，以及C和F之間的3:4比例（術語是“純四度”）。這樣一來，雖然方便了轉調，但代價就是音階再也沒有以前好聽了。因為一個八度之内最和諧的兩個關系――純五度和純四度――都被破壞了。
一直到文藝複興之前，西方音樂界通行的律法叫“平均音調律”（Meantone temperament），就是在保證純五度和純四度盡量不受影響的前提下，把(2/3)^12和(1/2)^7之間的差距盡量分配到12個音上去。這種折衷隻是一種無可奈何的妥協，大家其實都在等待新的音律出現。
終于還是有人想到了徹底的解決辦法。不就是在一個八度内均分12份嗎？直接就把1:2這個比例關系開12次方不就行了？也就是說，真正的半音比例應該是¹²√2。如果12音階中第一個音的波長是λ，那麼第二個音的波長就是(1/2)^(1/12) λ（根式可以用分數指數幂來表示），第三個音就是(1/2)^(2/12) λ，第四個音是(1/2)^(3/12) λ，……，第十二個是(1/2)^(11/12) λ，第十三個就是(1/2)^(12/12) λ，就是λ/2，正好是λ的八度。這是“轉調”問題的完全解決。有了這個新的音律，從任何一個音彈出的旋律可以複制到任何一個其它的音高上，而對旋律不産生影響。西方巴洛克音樂中，複調音樂對于多重聲部的偏愛，有了這個新音律之後，可以說不再有任何障礙了。後來的古典主義音樂，也間接地受益匪淺。可以說沒有這個新的音律的話，後來古典主義者、浪漫主義者對于各種音樂調性的探索都是不可能的。
這種新的音律就叫“十二平均律”。首先發明它的是一位中國人，叫朱載堉（yù）。他是明朝的一位皇室後代，生于1536年，逝世于1611年。他用珠算開方的辦法（珠算開12次方，難度可想而知），首次計算出了十二平均律的正确半音比例，其成就見于所著的《律學新書》一書。很可惜，他的發明，和中國古代其它一些偉大的發明一樣，被淹沒在曆史的塵埃之中了，很少被後人所知。但是，這也充分體現了中國古人對于世界發展的偉大貢獻。
西方人提出“十二平均律”，大約比朱載堉晚50年左右。不過很快就傳播、流行開來了。主要原因是當時西方音樂界對于解決轉調問題的迫切要求。當然，反對“十二平均律”的聲音也不少。主要的反對依據就是“十二平均律”破壞了純五度和純四度。不過這種破壞程度并不十分明顯。
波長計算
“十二平均律”的12聲音階的波長（近似值）分别是：
(1) λ = λ(/1)（C）
0.9439 λ = λ/1.059（C#/Db）
0.8909 λ = λ/1.122（D）
0.8409 λ = λ/1.189（D#/Eb）
0.7937 λ = λ/1.260（E）
0.7492 λ = λ/1.335（F）
0.7071 λ = λ/1.414（F#/Gb）
0.6674 λ = λ/1.498（G）
0.6300 λ = λ/1.587（G#/Ab）
0.5946 λ = λ/1.682（A）
0.5612 λ = λ/1.782（A#/Bb）
0.5297 λ = λ/1.888（B）。
注意，所有的半音都一樣了，都是¹²√2，即1.059。以前的自然半音和變化半音的區别沒有了。另外，原來“五度相生律”的12音階中，C和G的比例是2:3（即純五度），“十二平均律”的12音階中，C和G的比例是0.6674，和純五度所要求的2:3（0.6667）非常接近。原來“五度相生律”的12音階中，C和F的比例是3:4（即純四度），“十二平均律”的12音階中，C和F的比例是0.7492，和純四度所要求的3:4（0.7500）也非常接近。所以“十二平均律”基本上保留了“五度相生律”最重要的特性。又加上它完美地解決了轉調問題，所以後來“十二平均律”基本上取代了“五度相生律”的統治地位。鋼琴就是按“十二平均律”來确定各鍵音高的。學生們學習的do、re、mi也是按“十二平均律”修改過的7聲音階。如果想聽“五度相生律”或者“純律”的do、re、mi，已經很不容易了。
将八度音等分為十二等分，其數學意義如下：
八度音指的是波長減半（即半波長）。因此在八度音中分為十二等分乃是分為十二個等比級數，其結果就是每個音的波長為前一個音的2開12次方分之一（¹²√2≈1.059463）。
理論上來說，所有樂器的音準隻需要儀器來校準。但是實踐證明，人感覺上的音階會存在個體差異，所以樂器的調音師是不可被儀器替代的。
