定義
設函數y=f(x)的定義域是D，值域是f(D)。如果對于值域f(D)中的每一個y，在D中有且隻有一個x使得g(y)=x，則按此對應法則得到了一個定義在f(D)上的函數，并把該函數稱為函數y=f(x)的反函數，記為
由該定義可以很快得出函數f的定義域D和值域f(D)恰好就是反函數f-1的值域和定義域，并且f-1的反函數就是f，也就是說，函數f和f-1互為反函數，即：
反函數與原函數的複合函數等于x，即：
習慣上我們用x來表示自變量，用y來表示因變量，于是函數y=f(x)的反函數通常寫成。
例如，函數的反函數是。
相對于反函數y=f-1(x)來說，原來的函數y=f(x)稱為直接函數。反函數和直接函數的圖象關于直線y=x對稱。這是因為，如果設(a，b)是y=f(x)的圖象上任意一點，即b=f(a)。根據反函數的定義，有a=f-1(b)，即點(b，a)在反函數y=f-1(x)的圖象上。而點(a，b)和(b，a)關于直線y=x對稱，由(a，b)的任意性可知f和f-1關于y=x對稱。
于是我們可以知道，如果兩個函數的圖象關于y=x對稱，那麼這兩個函數互為反函數。這也可以看做是反函數的一個幾何定義。
在微積分裡，f(n)(x)是用來指f的n次微分的。
若一函數有反函數，此函數便稱為可逆的（invertible）。
存在性
概述
一函數f若要是一明确的反函數，它必須是一雙射函數，即：
1.（單射）陪域上的每一元素都必須隻被f映射到一次：不然其反函數必将元素映射到超過一個的值上去。
2.（滿射）陪域上的每一元素都必須被f映射到：不然将沒有辦法對某些元素定義f的反函數。
若f為一實變函數，則若f有一明确反函數，它必通過水平線測試，即一放在f圖上的水平線必對所有實數k，通過且隻通過一次。
反函數存在定理
定理：嚴格單調函數必定有嚴格單調的反函數，并且二者單調性相同。
在證明這個定理之前先介紹函數的嚴格單調性。
設y=f(x)的定義域為D，值域為f(D)。如果對D中任意兩點x1和x2，當x1
證明：設f在D上嚴格單增，對任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。
而由于f的嚴格單增性，對D中任一x'
任取f(D)中的兩點y1和y2，設y1
若此時x1≥x2，根據f的嚴格單增性，有y1≥y2，這和我們假設的y1
因此x1
如果f在D上嚴格單減，證明類似。
性質
（1）函數存在反函數的充要條件是，函數的定義域與值域是一一映射；
（2）一個函數與它的反函數在相應區間上單調性一緻；
（3）大部分偶函數不存在反函數（當函數y=f(x)，定義域是{0}且f(x)=C（其中C是常數），則函數f(x)是偶函數且有反函數，其反函數的定義域是{C}，值域為{0}）。奇函數不一定存在反函數，被與y軸垂直的直線截時能過2個及以上點即沒有反函數。若一個奇函數存在反函數，則它的反函數也是奇函數。
（4）一段連續的函數的單調性在對應區間内具有一緻性；
（5）嚴增（減）的函數一定有嚴格增（減）的反函數；
（6）反函數是相互的且具有唯一性；
（7）定義域、值域相反對應法則互逆（三反）；
（8）反函數的導數關系：如果x=f(y)在開區間I上嚴格單調，可導，且f'(y)≠0，那麼它的反函數y=f-1(x)在區間S={x|x=f(y)，y∈I}内也可導，且：
（9）y=x的反函數是它本身。
反函數的符号
反函數的符号記為f-1(x)，在中國的教材裡，反三角函數記為arcsin、arccos等等，但是在歐美一些國家，sinx的反函數記為sin-1(x)。
x-1表示1/x，那麼f-1(x)與這是否有些關系呢？下面舉幾個例子來說明這點。當然，f-1(x)肯定和1/f(x)不等，但是确實有與之很相近的性質。
反函數的反函數
為了好看以及對比，我有時會把f(x)寫成f對比，我把我想各位應該很好理解，反函數的反函數當然就是原函數，寫成數學語言就是(f-1)-1=f。看看，這是不是有點像指數的運算法則：1/x-1=x呢？
反函數的導函數
如果函數x=f(y)在區間Iy内單調、可導且f'(y)不等于零，則它的反函數y=f-1(x)在區間内也可導，且或。
用自然語言來說就是，反函數的導數，等于直接函數導數的倒數。這話有點繞，不過應該能讀懂，這個似乎就進一步揭示了反函數符号的意義。
在這裡要說明的是，y=f(x)的反函數應該是x=f-1(y)。隻不過在通常的情況下，我們将x寫作y，y寫作x，以符合習慣。所以，雖然反函數和直接函數不互為倒數，但是各自導函數求出後，二者卻是互為倒數。
反函數的複合函數
這個内容屬于高等數學的内容了。大夥想想函數裡面最簡單最基本的函數是什麼函數？不用說，肯定就是我們的恒等函數y=x，這就和我們數字裡面的1一般地位，所以，我們記恒等函數為“1x”。
數字的基本運算就是加減乘除，而函數也有運算，雖然也有加減乘除，但是屬于函數自己的，就是複合與反函數。我們知道在實數裡，x與1/x的乘積等于1，在函數的複合運算裡，也有類似的性質，函數f和g的複合記為f○g，那麼下面的性質成立：f-1○f=1x；1x○f=f○1x=f。
這第一個式子已經說明很多問題。實際上，這些都是屬于高等代數的内容，在每一個封閉的系統裡，都有一個“單位1”，都有自己的運算法則，函數裡的就是1x，實數裡的就是數字1等等。要深刻理解這些，也隻有大家接觸群論以後才會深入理解。這裡也隻是做點皮毛而已。我将在後面另起一文，介紹函數的“幂”的概念，就如同數的幂一樣。
說明
（1）在函數x=f-1(y)中，y是自變量，x是因變量，但習慣上，我們一般用x表示自變量，用y表示因變量，為此我們常常對調函數x=f-1(y)中的字母x、y，把它改寫成y=f-1(x)，今後凡無特别說明，函數y=f(x)的反函數都采用這種經過改寫的形式。
⑵反函數也是函數，因為它符合函數的定義.從反函數的定義可知，對于任意一個函數y=f(x)來說，不一定有反函數，若函數y=f(x)有反函數y=f-1(x)，那麼函數y=f-1(x)的反函數就是y=f(x)，這就是說，函數y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數。
⑶互為反函數的兩個函數在各自定義域内有相同的單調性。單調函數一定有反函數，如二次函數在R内不是反函數，但在其單調增（減）的定義域内，可以求反函數；另外，反比例函數等函數不單調，也可求反函數。
⑷從映射的定義可知，函數y=f(x)是定義域A到值域C的映射，而它的反函數y=f-1(x)是集合C到集合A的映射，因此，函數y=f(x)的定義域正好是它的反函數y=f-1(x)的值域；函數y=f(x)的值域正好是它的反函數y=f-1(x)的定義域（如下表）：
函數：y=f(x)；
反函數：y=f-1(x)；
定義域：A，C；
值域：C，A；
(5)上述定義用“逆”映射概念可叙述為：
若确定函數y=f(x)的映射f是函數的定義域到值域上的“一一映射”，那麼由f的“逆”映射f-1所确定的函數y=f-1(x)就叫做函數y=f(x)的反函數.反函數y=f-1(x)的定義域、值域分别對應原函數y=f(x)的值域、定義域.。開始的兩個例子：s=vt記為f(t)=vt,則它的反函數就可以寫為f-1(s)=s/v，同樣y=2x+6記為f(x)=2x+6，則它的反函數為：f-1(x)=x/2-3.
有時是反函數需要進行分類讨論，如：f(x)=x+1/x，需将x進行分類讨論：在x大于0時的情況，x小于0的情況，多是要注意的。
一般分數函數y=(ax+b)/(cx+d)（其中ad≠bc）的反函數可以表示為y=(b-dx)/(cx-a)，這可以通過簡單的四則運算來證明。
