舉例
取一個淺盒和一張紙，紙恰好蓋住盒内的底面。可想而知此時紙上的每個點與正在它下面的盒底上的那些點配成對。把這張紙拿起來，随機地揉成一個小球，再把小球扔進盒裡。拓撲學家已經證明，不管小球是怎樣揉成的，也不管它落在盒底的什麼地方，在揉成小球的紙上至少有一個這樣的點，它恰好處在它盒底原來配對點的正上方。
通過具體找到這個點，就能說明這個問題了。
紙被揉成球以後，看它現在投到紙盒底部的影子。紙盒底部的影子區域肯定比紙盒底要小。那麼，就取【紙盒底部的在影子内的那個部分】，它肯定對應于紙團裡面的某一小團部分。（因為整個底闆對應于整個紙團，那麼地闆的一部分就肯定對應于一部分紙團）
假如去掉紙團的其他部分，那一小團部分同樣可以在紙盒底面投影，而且投影肯定比剛才的大投影小，而且在它之内。（因為它是在整個紙團之内）。那麼，取這一小片投影（注意這片影子肯定是連續的不會斷開，因為紙沒有撕裂），當它再往紙團裡對應的時候，肯定對應于其中更小的一團。我們再次把多馀的紙去掉。
就是說：
整個紙盒對應于紙團
紙盒【在紙團投影内的部分】對應于紙團内的一小塊
紙盒【一小塊的投影的部分】對應于剛才那一小塊内的更小一塊
紙盒【更小塊投影的部分】對應于更小塊中的更更小一塊
…………………………
不斷地去掉紙無限次，最後紙團隻剩下了一個點，它的投影就對應于紙盒的一個點。
函數
例如，定義在實數上的函數f，
f(x) = x^2 - 3x + 4，
則2是函數f的一個不動點，因為f(2) = 2。
也不是每一個函數都具有不動點。例如f(x) = x + 1就沒有不動點。因為對于任意的實數，x永遠不會等于x + 1。用圖像的話來說，不動點意味着點(x,f(x))在直線y = x上，或者換句話說，函數f(x)的圖像與那根直線有共點。這個例子的情況是，這個函數的圖像與那根直線是一對平行線。
應用
1 利用f(x)的不動點解方程（牛頓切線法）
2 利用f(x)的不動點求函數或多項式的解析式
3 利用f(x)的不動點讨論n-周期點問題
4 求解數列問題（求解一階遞歸數列的通項公式）
5 求解一階遞歸數列的極限
這是利用不動點開立方（牛頓切線法）的例子
開方：
公式：X(n+1）=Xn+（A/Xn^2-Xn）1/3設A=5，開3次方
5介于1^3至2^3之間（1的3次方=1，2的3次方=8）
X_0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以。例如我們取2.0.按照公式：
第一步：X1={2.0+[5/(2.0^2-2.0]1/3=1.7.}。即5/2×2=1.25，1.25-2=-0.75，0.75×1/3=0.25，輸入值大于輸出值，負反饋
2-0.25=1.75，取2位數值,即1.7。
第二步：X2={1.7+[5/(1.7^2-1.7]1/3=1.71}.。
即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，輸入值小于輸出值正反饋
1.7+0.01=1.71。取3位數，比前面多取一位數。
第三步：X3={1.71+[5/(1.71^2-1.71]1/3=1.709}輸入值大于輸出值，負反饋
第四步：X4={1.709+[5/(1.709^2-1.709]1/3=1.7099}.輸入值小于輸出值正反饋
這種方法可以自動調節，第一步與第三步取值偏大，但是計算出來以後輸出值會自動轉小；第二步，第四步輸入值偏小，輸出值自動轉大。X_4=1.7099.
當然也可以取1.1，1.2，1.3，。。。1.8，1.9中的任何一個。
定理
在數學的不同部分有很多定理保證函數、在一定的條件下，必定有一個或者更多的不動點。這些在最基本的定性結果當中，那些普遍性應用的不動點定理是非常具有價值的洞察。
